相似三角形的判定及性质
共36题

相似三角形的判定及性质
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题型：填空题

填空题

如图，⊙O上一点C在直径AB上的射影为D，AC=4，AD=2，则⊙O的面积是______．

正确答案

16π

解析

解：∵∠ACB是直径AD所对的圆周角，∴∠ACB=90°．

∵CD⊥AD．

∴AC2=AD•AB，

∴42=2×AB，

解得AB=8．

∴R=4．

∴⊙O的面积=42•π=16π．

故答案为：16π．

题型：填空题

填空题

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为______．

正确答案

解析

解：过A点做BC的垂线，垂足为M‘，

当M点落在线段BM'（含M'点不含B点）上时∠AMB≥90

由∠A=90°，AB=1，BC=2

解得BM'=，则∠AMB≥90°的概率p==．

故答案为：

题型：填空题

填空题

如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD=______cm．

正确答案

解析

解：∵易知AB==5，

又由切割线定理得BC2=BD•AB，

∴42=BD•5

∴BD=．

故答案为：

题型：简答题

简答题

（几何证明选讲选做题）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于______．

正确答案

解：∵圆O上一点C在直径AB上的射影为D

∴AC⊥BC，CD⊥AB

在直角三角形ACB中，由射影定理知：CD2=AD×BD

∵CD=4，BD=8

∴

∴AB=AD+DB=2+8=10

∴圆O的半径等于=5

故答案为 5

解析

解：∵圆O上一点C在直径AB上的射影为D

∴AC⊥BC，CD⊥AB

在直角三角形ACB中，由射影定理知：CD2=AD×BD

∵CD=4，BD=8

∴

∴AB=AD+DB=2+8=10

∴圆O的半径等于=5

故答案为 5

题型：填空题

填空题

设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，那么a，b的调和平均数是线段______的长度．

正确答案

解析

解：依题意得，Rt△DAC∽Rt△BDC，

∴=，

∵AC=a，CB=b，

∴，CD2=ab（射影定理）；

同理，Rt△DCO∽Rt△EDC⇒CD2=DE•OD，又OD=，

∴DE==，此即为a，b的调和平均数．

故答案为：DE．

题型：简答题

简答题

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．

正确答案

解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c-x

因此，△ACD的面积为，

△CBD的面积为，△ABC的面积为，依题意，

，

即x2=c（c-x），即x2+cx-c2=0，

．

∵取负号不合题意，∴取正号，得．

又依直角三角形的性质，有AC2=AD•AB=c（c-x）．

但x2=c（c-x），∴AC2=x2，∴AC=x=DB=．

在直角三角形ABC中，．

故．

解析

解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c-x

因此，△ACD的面积为，

△CBD的面积为，△ABC的面积为，依题意，

，

即x2=c（c-x），即x2+cx-c2=0，

．

∵取负号不合题意，∴取正号，得．

又依直角三角形的性质，有AC2=AD•AB=c（c-x）．

但x2=c（c-x），∴AC2=x2，∴AC=x=DB=．

在直角三角形ABC中，．

故．

题型：简答题

简答题

△ABC中，∠BAC是直角，AD是高，求证：如果BC=5CD，那么BC2=5AC2．

正确答案

证明：如图所示，

∵∠BAC是直角，AD是高，BC=5CD，

∴AC2=CD•BC=，

∴BC2=5AC2．

解析

证明：如图所示，

∵∠BAC是直角，AD是高，BC=5CD，

∴AC2=CD•BC=，

∴BC2=5AC2．

题型：简答题

简答题

如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC=6，AC=8，求DF的长．

正确答案

解：在Rt△ABC中，∵AC⊥BC，∴==10．

设圆的半径为r，AD=x，连接OD，

∵AC切半圆O于点D，∴OD⊥AC．

∴OD∥BC．

∴=，即=，化为x=r．

又由切割线定理AD2=AE•AB，即r2=（10-2r）×10，

解得r=．

∴AD==5，

在Rt△ADO中，==．

∵，

∴==3．

解析

解：在Rt△ABC中，∵AC⊥BC，∴==10．

设圆的半径为r，AD=x，连接OD，

∵AC切半圆O于点D，∴OD⊥AC．

∴OD∥BC．

∴=，即=，化为x=r．

又由切割线定理AD2=AE•AB，即r2=（10-2r）×10，

解得r=．

∴AD==5，

在Rt△ADO中，==．

∵，

∴==3．

题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，

求证：BE•BF=BC•BD．

正确答案

证明：

证法一：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD

∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB

∴∠CEB=∠FDB

又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角

∴△BCE∽△BDF∴，

即BE•BF=BC•BD

证法二：连续AC、AE，∵AB是直径，AC是切线

∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF

由射线定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF

∴BE•BF=BC•BD

解析

证明：

证法一：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD

∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB

∴∠CEB=∠FDB

又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角

∴△BCE∽△BDF∴，

即BE•BF=BC•BD

证法二：连续AC、AE，∵AB是直径，AC是切线

∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF

由射线定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF

∴BE•BF=BC•BD

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．

（1）求证：AD⊥PB；

（2）求证：DM∥平面PCB．

正确答案

解：（1）取AD的中点G，连接PG、GB、BD．

∵PA=PD，

∴PG⊥AD．（2分）

∵AB=AD，且∠DAB=60°，

∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，

又∵PG∩BG=G，PG、BG⊂平面PGB

∴AD⊥平面PGB．

∴AD⊥PB．（6分）

（2）取PB的中点F，连接MF、CF，

∵M、F分别为PA、PB的中点，

∴MF∥AB，且．

∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，

∴MF∥CD且MF=CD．（10分）

∴四边形CDMF是平行四边形．

∴DM∥CF．

∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB

∴DM∥平面PCB．（12分）

解析

解：（1）取AD的中点G，连接PG、GB、BD．

∵PA=PD，

∴PG⊥AD．（2分）

∵AB=AD，且∠DAB=60°，

∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，

又∵PG∩BG=G，PG、BG⊂平面PGB

∴AD⊥平面PGB．

∴AD⊥PB．（6分）

（2）取PB的中点F，连接MF、CF，

∵M、F分别为PA、PB的中点，

∴MF∥AB，且．

∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，

∴MF∥CD且MF=CD．（10分）

∴四边形CDMF是平行四边形．

∴DM∥CF．

∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB

∴DM∥平面PCB．（12分）

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