- 矩阵与变换
- 共736题
下列各对矩阵，存在积AB的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据矩阵的意义可知，m行s列的矩阵A和s行n列的矩阵B才可乘，
即第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数．
选项A中，矩阵A是二行一列，矩阵B是二行一列，不可乘，故错；
选项B中，矩阵A是二行一列，矩阵B是二行二列，不可乘，故错；
选项A中，矩阵A是二行二列，矩阵B是二行一列，可乘，故正确；
选项A中，矩阵A是二行三列，矩阵B是二行一列，不可乘，故错；
故选C．
若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=
正确答案
解：（Ι）∵点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
∴
即M=
（Ⅱ）设P（x0，y0）是曲线C：x2+y2=1上任意一点，
则点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）
则有
又∵点P在曲线C：x2+y2=1上，
∴4x2+y2=1，即曲线C‘的方程为椭圆4x2+y2=1．
解析
解：（Ι）∵点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
∴
即M=
（Ⅱ）设P（x0，y0）是曲线C：x2+y2=1上任意一点，
则点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）
则有
又∵点P在曲线C：x2+y2=1上，
∴4x2+y2=1，即曲线C‘的方程为椭圆4x2+y2=1．
已知矩阵A=
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若向量
正确答案
解：（I）解法一：由已知可得
∴
解之得
∴A=
解法二：矩阵的特征多项式为f（λ）=
∵A的一个特征值为λ=2，其对应的特征向量为
∴λ，
∴
∴
∴A=
（II）由f（λ）=（λ-1）（λ-4）+2=0，可得λ1=2，λ2=3
当λ2=3代入
∴
令
∴
∴
∴
∴
解析
解：（I）解法一：由已知可得
∴
解之得
∴A=
解法二：矩阵的特征多项式为f（λ）=
∵A的一个特征值为λ=2，其对应的特征向量为
∴λ，
∴
∴
∴A=
（II）由f（λ）=（λ-1）（λ-4）+2=0，可得λ1=2，λ2=3
当λ2=3代入
∴
令
∴
∴
∴
∴
已知a，b∈R，若矩阵A=
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．
正确答案
解：（Ⅰ）设直线2x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换TA的作用下变成点P‘（x'，y'），
由题意知2x'-y'-3=0，由
得x'=-x+ay，y'=bx+3y，
代入直线2x'-y'-3=0得2（-x+ay）-（bx+3y）-3=0，
即（-b-2）x+（2a-3）y-3=0，
由点P（x，y）的任意性可得-b-2=2，2a-3=-1，
解得a=1，b=-4．
（2）A=
∴A-1=
解析
解：（Ⅰ）设直线2x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换TA的作用下变成点P‘（x'，y'），
由题意知2x'-y'-3=0，由
得x'=-x+ay，y'=bx+3y，
代入直线2x'-y'-3=0得2（-x+ay）-（bx+3y）-3=0，
即（-b-2）x+（2a-3）y-3=0，
由点P（x，y）的任意性可得-b-2=2，2a-3=-1，
解得a=1，b=-4．
（2）A=
∴A-1=
（Ⅰ）已知矩阵
（Ⅱ）求直线
正确答案
（Ⅰ）解：根据题意可得：直线l1经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l3
：
则得到直线2ax+by+4=0 即直线l1：x-y+4=0，
则有
此时
故答案为：x-2y-4=0．
（Ⅱ）解：直线
曲线
则圆心（1，-1）到直线x+y+1=0的距离d=
设直线被曲线截得的弦长为t，则t=2
∴直线被曲线截得的弦长为
解析
（Ⅰ）解：根据题意可得：直线l1经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l3
：
则得到直线2ax+by+4=0 即直线l1：x-y+4=0，
则有
此时
故答案为：x-2y-4=0．
（Ⅱ）解：直线
曲线
则圆心（1，-1）到直线x+y+1=0的距离d=
设直线被曲线截得的弦长为t，则t=2
∴直线被曲线截得的弦长为
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