矩阵与变换
共736题

· 矩阵与变换

矩阵与变换
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题型：单选题

单选题

若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（　　）

正确答案

解析

解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），

根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，

∴x2+9y2=4，

即

则所得曲线为．

故选C．

题型：简答题

简答题

（2015春•武进区期末）已知a，b∈R，且ab≠2，若矩阵M=所对应的变换T把直线l：x-y=3变换为自身．

（1）求实数a，b的取值；

（2）若向量=，求M10．

正确答案

解：（1）设直线x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换TA的作用下变成点P‘（x'，y'），

∵=，∴，

∵P'（x'，y'）在直线x-y-3=0上，

∴x'-y'-3=0，

即（1-b）x+（a-2）y-3=0，

又∵P（x，y）在直线x-y-3=0上，

∴x-y-1=0．

∴，

∴a=1，b=0．

（2）矩阵M的特征多项式为f（λ）==（1-λ）（2-λ）=0，

∴λ1=1，λ2=2，

设对应λ1=1的特征向量为=，

由M=λ1，得=

有M=λ2，得=

由=--2，得M10β=M10（--2）=--2•210•=．

解析

解：（1）设直线x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换TA的作用下变成点P‘（x'，y'），

∵=，∴，

∵P'（x'，y'）在直线x-y-3=0上，

∴x'-y'-3=0，

即（1-b）x+（a-2）y-3=0，

又∵P（x，y）在直线x-y-3=0上，

∴x-y-1=0．

∴，

∴a=1，b=0．

（2）矩阵M的特征多项式为f（λ）==（1-λ）（2-λ）=0，

∴λ1=1，λ2=2，

设对应λ1=1的特征向量为=，

由M=λ1，得=

有M=λ2，得=

由=--2，得M10β=M10（--2）=--2•210•=．

题型：填空题

填空题

直角坐标系xoy中，点（2，-2）在矩阵M=对应变换作用下得到点（-2，4），曲线C：x2+y2=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C′，

（1）求曲线C′的方程．

（2）求矩阵M的特征值和特征向量．

正确答案

解析

解：∵点（2，-2）在矩阵M=对应变换作用下得到点（-2，4），

∴，

∴2a=4，

∴a=2．

设曲线C上一点P（x，y）在矩阵M对应变换作用下，对应曲线C′上一点P′（x′，y′）．

∵，

∴，

∵曲线C：x2+y2=1，

∴，

∴曲线C′的方程为．

（2）矩阵M=的特征多项式为：=λ2-2．

令f（λ）=0，，

当时，，取x=1，则，；

当时，，取x=1，则y=-，．

∴矩阵M的特征值为，，对应的特征向量分别为，．

题型：单选题

单选题

将曲线c按伸缩变换公式变换得到曲线方程为x/2+y/2=1，则曲线c的方程为（　　）

C4x2+9y2=1

D4x2+9y2=36

正确答案

解析

解：由题意，把伸缩变换公式代入曲线方程为x/2+y/2=1，得（2x）2+（3y）2=1，即4x2+9y2=1．

∴曲线c的方程为4x2+9y2=1．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程．

（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．

正确答案

解：（1）设点P（x，y）是曲线C上的任意一点，由ρ=，ρ=1，可得x2+y2=1即为曲线C的直角坐标方程．

又已知直线l的参数方程

由①可得t=2x-2，代入②得，整理为即为直线l的普通方程．

（2）把变为将其代入曲线C的方程得，即得到曲线C‘的方程为．

设曲线C'上任一点为M（x，y），代入曲线C′的方程得，

令，则==sin（θ+φ），∵-1≤sin（θ+φ）≤1．

∴的最小值是-．

解析

解：（1）设点P（x，y）是曲线C上的任意一点，由ρ=，ρ=1，可得x2+y2=1即为曲线C的直角坐标方程．

又已知直线l的参数方程

由①可得t=2x-2，代入②得，整理为即为直线l的普通方程．

（2）把变为将其代入曲线C的方程得，即得到曲线C‘的方程为．

设曲线C'上任一点为M（x，y），代入曲线C′的方程得，

令，则==sin（θ+φ），∵-1≤sin（θ+φ）≤1．

∴的最小值是-．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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