- 矩阵与变换
- 共736题
设矩阵
正确答案
解析
解：设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P‘（x'，y'），则
又点P'（x'，y'）在曲线C'上，所以x'2-2y'2=1，则（x+ay）2-2（bx+y）2=1，
即（1-2b2）x2+（2a-4b）xy+（a2-2）y2=1为曲线C的方程，…（5分）
又已知曲线C的方程为x2+4xy+2y2=1，
比较系数可得
∴Mn=
故答案为：
已知矩阵M=
（Ⅰ）求矩阵MN；
（Ⅱ）若点P（0，1）在矩阵MN对应的线性变换作用下得到点P′，求P′的坐标？
正确答案
解：（Ⅰ）∵M=
∴矩阵MN=
（Ⅱ）设P′（x，y），则
∴P′（0，-1）．
解析
解：（Ⅰ）∵M=
∴矩阵MN=
（Ⅱ）设P′（x，y），则
∴P′（0，-1）．
已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A（2，-1）变成了点A′（3，-4），点B（-1，2）变成了点B（0，5），求矩阵M．
正确答案
解：设该二阶矩阵为M=
由题意得
所以
解得，a=2，b=1，c=-1，d=2．
即 
解析
解：设该二阶矩阵为M=
由题意得
所以
解得，a=2，b=1，c=-1，d=2．
即
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知向量
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为（4
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a、b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．
正确答案
（1）解：（Ⅰ）因为 
所以，
（Ⅱ）因为M=
设曲线 y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x′，y′），
由 
所以
由 （x，y）的任意性可知，
曲线 y2-x+y=0在矩阵 M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为 y2=x．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标为（4
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程 
化为普通方程为 （x-1）2+y2=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围（-1，1）．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以 z=a2 b=a•a•b≤
当且仅当a=b=3时，等号成立． 故z的最大值为27．…（7分）
解析
（1）解：（Ⅰ）因为
所以，
（Ⅱ）因为M=
设曲线 y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x′，y′），
由
所以
由 （x，y）的任意性可知，
曲线 y2-x+y=0在矩阵 M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为 y2=x．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标为（4
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程
化为普通方程为 （x-1）2+y2=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围（-1，1）．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以 z=a2 b=a•a•b≤
当且仅当a=b=3时，等号成立． 故z的最大值为27．…（7分）
已知关于x，y的二元一次方程组为
（Ⅰ）若该方程组有唯一解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=2，且该方程组存在非零解
正确答案
解：（Ⅰ）该方程组有唯一解，即
（Ⅱ）由题意可知当a=2时，λ即为矩阵
由
解得λ=3，λ=-2．…（7分）
解析
解：（Ⅰ）该方程组有唯一解，即
（Ⅱ）由题意可知当a=2时，λ即为矩阵
由
解得λ=3，λ=-2．…（7分）
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