矩阵与变换
共736题

· 矩阵与变换

矩阵与变换
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题型：单选题

单选题

若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（　　）

A24

B48

C144

D288

正确答案

解析

解：按以下步骤进行排列

①从集合{1，2，3，4}中选取2个数，总共有C42=6种方法；

②将选取的两个数插在第一列、第二列、第三列或第四列的2个位置，

因为上下对应的数字相同，所以总共有A42=12种方法；

③将剩余的两个数插在余下的2个位置，共2种方法

综上，可得满足条件的不同排列共有C42A42×2=144个

因此，满足条件的不同矩阵的个数为144个

故选：C

题型：简答题

简答题

本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．

（1）选修4-2：矩阵与变换

已知是矩阵属于特征值λ1=2的一个特征向量．

（I）求矩阵M；

（Ⅱ）若，求M10a．

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为为参数）．

（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）以A（l，0为极点，||为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

（3）选修4-5：不等式选讲

（I）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；

（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．

正确答案

（1）解：（I）由题意，，∴，∴a=1，b=2

∴矩阵M=；

（Ⅱ）由（I）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2）

∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1

设是矩阵M属于特征值1的特征向量，则

∴，取x=1，则

∴

∴=

（2）（I）由消去θ可得（x-2）2+y2=1；

（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x-1）2+y2=1，即x2+y2-2x=0

∴曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ=0

（3）（I）证明：左边-右边=a2y2+b2x2-2abxy=（ay-bx）2≥0，∴左边≥右边

即

（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，则

∵，∴（u+v）2+（u-v）2=8，∴u2+v2=4

由柯西不等式得：，当且仅当，即或时，的最小值是1．

解析

（1）解：（I）由题意，，∴，∴a=1，b=2

∴矩阵M=；

（Ⅱ）由（I）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2）

∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1

设是矩阵M属于特征值1的特征向量，则

∴，取x=1，则

∴

∴=

（2）（I）由消去θ可得（x-2）2+y2=1；

（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x-1）2+y2=1，即x2+y2-2x=0

∴曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ=0

（3）（I）证明：左边-右边=a2y2+b2x2-2abxy=（ay-bx）2≥0，∴左边≥右边

即

（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，则

∵，∴（u+v）2+（u-v）2=8，∴u2+v2=4

由柯西不等式得：，当且仅当，即或时，的最小值是1．

题型：填空题

填空题

把实数a，b，c，d排成如的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），则点（2，3）在矩阵的作用下变换成点______．

正确答案

（3，2）

解析

解：∵

∴

故答案为（3，2）

题型：简答题

简答题

在极坐标系中，直线l：ρcosθ=与曲线C：ρ=2cosθ相交于A、B两点，O为极点．

（1）求∠AOB的大小．

（2）设把曲线C向左平移一个单位再经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上任一点，求x2-xy+2y2的最小值，并求相应点M的坐标．

正确答案

解：（1）直线ρcosθ=即x=，曲线ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，

表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．如图．

Rt△ADC中，∵cos∠ACO==，∴∠ACO=，

在△AOC中，AC=OC，∴∠AOC=，∴∠AOB=2∠AOC=…（5分）

（2）曲线C：（x-1）2+y2=1，向左平移一个单位再经过伸缩变换得到曲线C′的直角坐标方程为，

设M（2cosα，sinα），所以x2-xy+2y2=3+2cos（2α+）

∴时，x2-xy+2y2的最小值为1

此时点M的坐标为（1，）或（-1，-）…（10分）

解析

解：（1）直线ρcosθ=即x=，曲线ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，

表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．如图．

Rt△ADC中，∵cos∠ACO==，∴∠ACO=，

在△AOC中，AC=OC，∴∠AOC=，∴∠AOB=2∠AOC=…（5分）

（2）曲线C：（x-1）2+y2=1，向左平移一个单位再经过伸缩变换得到曲线C′的直角坐标方程为，

设M（2cosα，sinα），所以x2-xy+2y2=3+2cos（2α+）

∴时，x2-xy+2y2的最小值为1

此时点M的坐标为（1，）或（-1，-）…（10分）

题型：简答题

简答题

选修4-2 矩阵与变换

T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M（2x，4y）．圆C：x2+y2=1在变换T的作用下变成了什么图形？

正确答案

解：设P（x，y）为圆C：x2+y2=1上的任意一点，在变换T的作用下变成了P′（x′，y′），

则x′=2x，y′=4y，于是，，代入圆C的方程：x2+y2=1得，即为所求的方程，是焦点在y轴的椭圆．

解析

解：设P（x，y）为圆C：x2+y2=1上的任意一点，在变换T的作用下变成了P′（x′，y′），

则x′=2x，y′=4y，于是，，代入圆C的方程：x2+y2=1得，即为所求的方程，是焦点在y轴的椭圆．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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