- 矩阵与变换
- 共736题
曲线y2-x-2y=0在二阶矩阵
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求M的逆矩阵M-1．
正确答案
解析
解：（Ⅰ）
代入新曲线y2=x，得（bx+ay）2=x+ay，即y2+2bxy+b2x2-x-ay=0
解得a2=2，b=0 …（4分）
（2）由|M|=1及逆矩阵公式得M-1=
已知点P（a，b），先对它作矩阵M=
正确答案
解：依题意，NM=
由逆矩阵公式得，（NM）-1=
所以
解析
解：依题意，NM=
由逆矩阵公式得，（NM）-1=
所以
在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．
（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．
正确答案
解：（Ⅰ）设A=
∴a=b=1，c=0，d=2，
∴A=
（Ⅱ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=2，
设λ1=1对应的一个特征向量为α=
则由λ1α=Mα，得0•x-y=0，可令x=1，则y=0，
∴矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为
同理可得矩阵M的一个特征值λ2=2对应的一个特征向量为
解析
解：（Ⅰ）设A=
∴a=b=1，c=0，d=2，
∴A=
（Ⅱ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=2，
设λ1=1对应的一个特征向量为α=
则由λ1α=Mα，得0•x-y=0，可令x=1，则y=0，
∴矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为
同理可得矩阵M的一个特征值λ2=2对应的一个特征向量为
已知a，b∈R，矩阵
①求a，b的值；
②求矩阵A的逆矩阵A-1．
正确答案
解：①取直线x+y-1=0上两点（0，1），（1，0），
由
在矩阵A所对应的线性变换作用下的象是（1，b），（-a，2）仍在直线x+y-1=0上，
代入直线方程，得a=1，b=0…（4分）
②设
∴
另解：∵
解析
解：①取直线x+y-1=0上两点（0，1），（1，0），
由
在矩阵A所对应的线性变换作用下的象是（1，b），（-a，2）仍在直线x+y-1=0上，
代入直线方程，得a=1，b=0…（4分）
②设
∴
另解：∵
已知矩阵M=
（Ⅰ）求实数a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
正确答案
解：（Ⅰ）由题设得
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），
所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），计算题
由
得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），
从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．
解析
解：（Ⅰ）由题设得
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），
所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），计算题
由
得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），
从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．
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