矩阵与变换_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

本题有（1）、（2）、（3）三个选择题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）．选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵A=，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=．

（Ⅰ）求矩阵A；

（Ⅱ）若向量β=，计算A2β的值．

（2）．选修4-4：坐标系与参数方程

已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．求点F1，F2到直线l的距离之和．

（3）．选修4-5：不等式选讲

已知x，y，z均为正数．求证：++≥++．

正确答案

（A）（1）∵矩阵A=，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=．

∴（2E-A）α1=，即 =，∴，解得，

∴矩阵A=．

（2）∵A2= =，

A2β= =．

（2）由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去参数t得直线l普通方程为y=x-2；

由椭圆C的极坐标方程为ρ2=，化为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，

∴3x2+4y2=12，化为普通方程+=1．

∴c2=4-3=1，∴c=1．

∴焦点F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1==；

F2到直线l的距离d2==．

∴d1+d2=2．

（C）证明：∵x，y，z都是为正数，

∴xyz(++)=x2+y2+z2≥2（xy+xz+xy）≥xy+xz+yz，当且仅当x=y=z＞0时取等号；

∴++≥++．

1

题型：简答题

|

简答题

（A）4-2矩阵与变换

已知二阶矩阵M的特征值是λ1=1，λ2=2，属于λ1的一个特征向量是e1=，属于λ2的一个特征向量是e2=，点A对应的列向量是a=．

（Ⅰ）设a=me1+ne2，求实数m，n的值．

（Ⅱ）求点A在M5作用下的点的坐标．

（B）4-2极坐标与参数方程

已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=3，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

正确答案

（A）4-2矩阵与变换

（Ⅰ）由a=me1+ne2得：=m+n，即⇒．

（Ⅱ）二阶矩阵M对应的变换是线性变换

所以M5a=M5（2e1+e2）=2M5e1+M5e2=2λ15e1+λ25e2=2e1+25e2

=2+25==

所以点A在M5作用下的点的坐标（-30，66）．

（B）4-2极坐标与参数方程

由ρsin(θ-)=3，得：ρ(sinθ-cosθ)=3，∴y-x=6，即：x-y+6=0

又曲线C的参数方程是，设点P坐标为（cosθ，3sinθ），

则点P到直线l的距离是d===≤=+3

所以，P到直线l的距离的最大值为+3．

1

题型：简答题

|

简答题

（1）自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B，C两点．求证：∠MCP=∠MPB．

（2）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD的四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵M=表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A1B1C1D1，问：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积是否相等？试证明你的结论．

（3）已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点，B是曲线ρ=12cos(θ-)上的动点，试求AB的最大值．

（4）设p是△ABC内的一点，x，y，z是p到三边a，b，c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明++≤．

正确答案

（1）证明：∵AM切圆于点A，∴AM2=MB•MC

又∵M为PA中点，AM=MP，∴MP2=MB•MC，∴=

∵∠BMP=∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP=∠MPB．

（2）四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵M=表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A1B1C1D1顶点坐标为A1（0，1），B1（2，2k+1），C1（2，2k+3），D1（0，2），四边形A1B1C1D1仍为梯形，且上、下底及高都不变，故面积相等；

（3）曲线ρ=12sinθ化为直角坐标方程为 x2+（y-6）2=36，表示以（0，6）为圆心，以6为半径的圆．

曲线ρ=12cos(θ-)化为直角坐标方程为 x2+y2=6x+6y，即（x-3）2+（y-3）2=36，

表示以（3，3 ）为圆心，以6为半径的圆．

两圆的圆心距的平方为（0-3 ）2+（6-3）2 =36，故两圆相交，线段AB长的最大值为6+r+r′=18．

（4）连接P与三角形的三个顶点，分成的三个小三角形面积的和等于大三角形，即（ax+by+cz）=S，∴ax+by+cz=2S=

∴++=×+×+×

≤×[(

1

a

)2+(

1

b

)2+(

1

c

)2]

=×（++）=×=≤

即++≤

1

题型：简答题

|

简答题

已知M=，α=，试计算：M10α

选修4-4　参数方程与极坐标

过点P（-3，0）且倾斜角为30°直线和曲线 (t为参数)相交于A、B两点．求线段AB的长．

正确答案

（1）矩阵M的特征多项式为：f（λ）=λ2-λ-2=0，λ1=-1，λ2=2．

λ1=-1对应的一个特征向量为：=，λ2=2对应的一个特征向量为：=．（4分）

设a=m +n，即 =m +n ，∴解得．（5分）

M10α=3(λ1)10+(-2)(λ2)10=3(-1)10+（-2）10 =或．

（2）直线的参数方程为（s 为参数），曲线可以化为 x2-y2=4．

将直线的参数方程代入上式，得 s2-6+ 10 = 0．

设A、B对应的参数分别为 s1，s2，∴s1+ s2= 6 ，s1•s2=10．

∴AB=|s1-s2|==2 ．

1

题型：简答题

|

简答题

本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知向量=，变换T的矩阵为A=，平面上的点P（1，1）在变换T

作用下得到点P′（3，3），求A4.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

直线与圆（>0）相交于A、B两点，设

P（－1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求实数的值

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立，试求2+的最大值。

正确答案

（Ⅰ）.

（Ⅱ）=3.

（Ⅲ）(2+)max=.

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。

法1：= 即 =2，

故A= . ------------------------------------ 2分

由λ1=－1，λ2="3."

当λ1=－1时，矩阵A的特征向量为=.

当λ2=3时，矩阵A的特征向量为=. -----------------------------4分

故A4=A4（+2）

=A4+2A4

=(－1)4+2·34

=. ------------------------------------7分

法2：由=,

即，

故A=. ------------------------------------2分

A2=，

A3=，

A4 ， ------------------------------------5分

A4=. -----------------------------------7分

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

本题主要考查直线的参数方程，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力.

法1：直线参数方程可化为：y=(x+1) --------------------------------1分

联立方程，

消去，得：4+6+3－r="0" . ------------------------------------2分

设A（x1，y1）、B（x2，y2）（不妨设x1<x2），则

Δ=36－16（3－）>0 ， …………①

x1+x2=， …………②

x1·x2=， …………③-----------------------------------3分

， …………④-----------------------------------5分

由①②③④解得="3. " -----------------------------------7分

法2：将直线参数方程代入圆方程得

t2－t+1－="0 " -----------------------------------1分

设方程两根为t1、t2，则

Δ=1－4（1－）>0 >.

t1+t2=1，t1·t2=1－ .…………（*）-----------------------------------3分

由参数t的几何意义知

或. ---------------------------5分

由，解得=3，

由，代入（*）得=3，

故所求实数r的值为3. -----------------------------------7分

（3）选修4-5：不等式选讲

本题主要考查柯西不等式、绝对值不等式及其应用，考查推理论证与运算求解能力

解：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|="1" , -------------2分

故2+2≤1.

(2+)2≤(22+12)( 2+2) ≤5. ---------------------------------4分

由 ,

即取=，时等号成立. --------------------------------6分

故(2+)max=. -----------------------------------7分

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案