矩阵与变换
共736题

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矩阵与变换
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题型：简答题

简答题

已知线性变化T把点（1，-1）变成了（1，0），把点（1，1）变成了点（0，1）．

（1）求变换T所对应的矩阵M；

（2）求直线y=-1在变换T的作用下得到直线方程．

正确答案

解：（1）设T=，

∵•=，

•=，

∴，

∴T=．

（2）在直线y=-1取一点P（x0，-1）在变换T的作用下得到的点为Q（x，y）．

∵•=，

∴，

∴x-y=1．

∴直线y=-1在变换T的作用下得到直线方程为：x-y-1=0．

解析

解：（1）设T=，

∵•=，

•=，

∴，

∴T=．

（2）在直线y=-1取一点P（x0，-1）在变换T的作用下得到的点为Q（x，y）．

∵•=，

∴，

∴x-y=1．

∴直线y=-1在变换T的作用下得到直线方程为：x-y-1=0．

题型：简答题

简答题

若二阶矩阵M满足：M=．

（Ⅰ）求二阶矩阵M；

（Ⅱ）若曲线C：x2+2xy+2y2=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）设，则，∴，…（2分）

∴．　 …（3分）

（Ⅱ）∵，

即…（4分）

代入x2+2xy+2y2=1可得（x‘-y'）2+2（x'-y'）（-x'+2y'）+2（-x'+2y'）2=1，即x'2-4x'y'+5y'2=1，

故曲线C'的方程为x2-4xy+5y2=1． …（7分）

解析

解：（Ⅰ）设，则，∴，…（2分）

∴．　 …（3分）

（Ⅱ）∵，

即…（4分）

代入x2+2xy+2y2=1可得（x‘-y'）2+2（x'-y'）（-x'+2y'）+2（-x'+2y'）2=1，即x'2-4x'y'+5y'2=1，

故曲线C'的方程为x2-4xy+5y2=1． …（7分）

题型：简答题

简答题

已知矩阵M=，若向量在矩阵M的变换下得到向量．

（Ⅰ）求矩阵M；

（Ⅱ）设矩阵，求直线x-y+1=0在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由==…（1分）

得，解得…（2分）

∴M=…（3分）

（Ⅱ）NM==…（4分）

设点（x，y）是直线x-y+1上1一点，在矩阵NM的对应变换作用下得到的点（x′，y′），则

=，可得…（5分）

∴，代入x-y+1=0得2x′-y′+1=0…（6分）

即所求的曲线方程为2x-y-1=0…（7分）

解析

解：（Ⅰ）由==…（1分）

得，解得…（2分）

∴M=…（3分）

（Ⅱ）NM==…（4分）

设点（x，y）是直线x-y+1上1一点，在矩阵NM的对应变换作用下得到的点（x′，y′），则

=，可得…（5分）

∴，代入x-y+1=0得2x′-y′+1=0…（6分）

即所求的曲线方程为2x-y-1=0…（7分）

题型：填空题

填空题

将椭圆+=1绕其中心逆时针旋转90°，所得曲线的方程是______．

正确答案

解析

解：由旋转变换公式可得：=，可得：，

代入椭圆方程可得：=1，

即=1，

故答案为：=1．

题型：简答题

简答题

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．

（1）求矩阵M逆矩阵；

（2）求矩阵M的特征值及相应的特征向量．

正确答案

解：（1）由条件得矩阵M=----------------------------------------3分

∴|M|=6，

∴矩阵M逆矩阵为；

（2）特征多项式为=0

∴它的特征值为2和3，对应的特征向量为及-------------------------6分

解析

解：（1）由条件得矩阵M=----------------------------------------3分

∴|M|=6，

∴矩阵M逆矩阵为；

（2）特征多项式为=0

∴它的特征值为2和3，对应的特征向量为及-------------------------6分

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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