平面向量基本定理及坐标表示
共854题

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题型：填空题

填空题

已知向量=（a-2，-2），=（-2，b-2），∥（a＞0，b＞0），则ab的最小值是 ______．

正确答案

由已知∥可得（a-2）（b-2）-4=0，

即2（a+b）-ab=0，

∴4-ab≤0，解得≥4或≤0（舍去），

∴ab≥16．

∴ab的最小值为16．

故答案为16

题型：简答题

简答题

已知向量=(x，1-x)，=(lnx，ln(1-x))(0＜x＜1)．

（1）是否存在x，使得⊥或∥？若存在，则举一例说明；若不存在，则证明之．

（2）求函数f(x)=•在区间[，]上的最值．（参考公式[lnf(x)]′=）

正确答案

（1）例如，当x=时，=(，)，=(-ln2，-ln2)=-2ln2•，∥

因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，lnx＜0．ln（1-x）＜0.•=xlnx+(1-x)ln(1-x)＜0，从而与不垂直．

（2）函数f(x)=•=xlnx+(1-x)ln(1-x)

f′(x)=1nx+x•-ln(1-x)+(1-x)•=lnx-ln(1-x)，

令f′(x)=0得x=

当≤x＜时，x＜＜1-x，f′（x）＜0，f（x）在区间[，)上是减函数：

当＜x≤时，1-x＜＜x，f′（x）＞0，f（x）在区间(，]上是增函数；

所以f（x）在x=时取得最小值，且最小值f()=-ln2，

又f()=f()＜f()=ln+ln=ln3-21n2

故f（x）在x=时取得最大值，且最大值f()=ln3-2ln2．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=sin2x-(cos2x-sin2x)-1

（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；

（2）设△ABC的内角A、B、C、的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，若向量=(1， sinA)与向量=(2，sinB)共线，求a，b．

正确答案

（1）f(x)=sin2x-cos2x-1=sin(2x-)-1当2x-=2kπ-，k∈Z，即x=kπ-，k∈Z时，f(x)取得最小值-2

f（x）的最小正周期为π

（2）由c=，f（C）=0，得C=，a2+b2-ab=3

由向量=(1， sinA)与向量=(2，sinB)共线，

得sinB=2sinA，

∴b=2a

解方程组

得a=1，b=2

题型：简答题

简答题

已知向量=(cosx，sinx)，=(-cosx，cosx)，=(-1，0)

（I）若x=，求向量与的夹角θ：

（II）当x∈R时，求函数f（x）=2-+1的最小正周期T．

正确答案

（I）当x=时，

cosθ==

=-cosx=-cos=-

∴θ=

（II）∵f（x）=2•+1=2（-cos2x+sinxcosx）+1

=2sinxcosx-（2cos2x-1）

=2sin2x-cos2x=sin（2x-）

∴T==π

答：若x=时，两向量的夹角为；函数f（x）的最小正周期为π

题型：简答题

简答题

已知=(sinα，sinβ)，=(cos(α-β)，-1)，=(cos(α+β)，2)，α，β≠kπ+(k∈Z)．

（1）若∥，求tanα•tanβ的值；

（2）求

2+•的值．

正确答案

（1）∵=（cos（α-β），-1），=（cos（α+β），2），且∥，

∴2cos（α-β）+cos（α+β）=0，即2（cosαcosβ+sinαsinβ）+cosαcosβ-sinαsinβ=0，

∴3cosαcosβ+sinαsinβ=0，又α，β≠kπ+（k∈Z），

∴tanα•tanβ=-3；

（2）∵=（sinα，sinβ），=（cos（α-β），-1），=（cos（α+β），2），

∴

2+•=sin2α+sin2β+cos（α-β）cos（α+β）-2

=sin2α+sin2β+cos2αcos2β-sin2αsin2β-2

=sin2α+（1-sin2α）sin2β+cos2αcos2β-2

=sin2α+cos2αsin2β+cos2αcos2β-2

=sin2α+cos2α（sin2β+cos2β）-2

=sin2α+cos2α+2

=1-2

=-1．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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