平面向量基本定理及坐标表示
共854题

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平面向量基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

已知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．

（1）若||=||，求tanθ的值；

（2）若(+2)•=1，其中O为坐标原点，求sin2θ的值

正确答案

（1）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）

∴=(2sinθ-1，cosθ)，=(2sinθ，cosθ-1)

∵||=||∴=

∴2sinθ=cosθ∵cosθ≠0∴tanθ=（6分）

（2）∵=(1，0)，=(0，1)，=(2sinθ，cosθ)

∴+2=(1，2)∵(+2)•=1

∴2sinθ+2cosθ=1∴sinθ+cosθ=

∴(sinθ+cosθ)2=∴sin2θ=-（12分）

题型：简答题

简答题

已知A、B、C为三个锐角，且A+B+C=π，若向量=(2sinA-2，cosA+sinA)与向量=(cosA-sinA，1+sinA)是共线向量．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）求函数y=2sin2B+cos的最大值．

正确答案

（1）∵=(2-2sinA，cosA+sinA) ，=（sinA-cosA，1+sinA），且与共线，

可得（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA-cosA）（cosA+sinA）=0，化简可得sinA=±．

又△ABC是锐角三角形，∴sinA=即A=．

（2）由A=得B+C=，即C=-B，

y=2sin2B+cos =2sin2B+cos(-2B)=1-cos2B+cos cos2B+sinsin2B

=1+sin2Bcos -cos2Bsin=sin(2B-)+1，

∵-A＜B＜，∴＜B＜，∴＜2B＜π，∴＜2B-＜，

∴＜sin(2B-)≤1．故＜sin(2B-)+1≤2．

因此函数y=2sin2B+cos 的值域为（，2]，故函数y的最大值等于2．

题型：简答题

简答题

已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(，)．

（Ⅰ）若∥，O为坐标原点，求角α的值；

（Ⅱ）若⊥，求的值．

正确答案

依条件有=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3），

（Ⅰ）由∥，得（cosα，sinα）∥（-3，3）⇒-3cosα-3sinα=0，

所以，tanα=-1，

α∈（，），

∴α=．

（Ⅱ）由⊥得•=0，得cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=0，

解得sinα+cosα=，两边平方得2sinαcosα=-，

所以，

=•cosα

=2sinαcosα=-．

因此，原式=-．

题型：简答题

简答题

已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx-sinx，2cosx）．

（I）求证：向量与向量不可能平行；

（II）若•=1，且x∈[-π，0]，求x的值．

正确答案

（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，

1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，

∴sin（2x+）=-3，解得sin（2x+）=-＜-1，故不存在这种角满足条件，

故假设不成立，即与不可能平行．

（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin（2x+）=1，

∵x∈[-π，0]，∴-2π＜2x＜0，即-＜2x+＜，

∴2x+=-或，解得x=-或，

故x的值为：-．

题型：填空题

填空题

已知向量=(cosα，sinα)，=(cosβ，sinβ)，|-|=．则cos（α-β）的值为______．

正确答案

由题意得，-=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)，

∵|-|=，

∴（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=，

化简得，2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=，

即cosαcosβ+sinαsinβ=，

∴cos（α-β）=，

故答案为：．

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