平面向量基本定理及坐标表示
共854题

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平面向量基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

如图，△OAB是等边三角形，∠AOC=45°，OC=，A、B、C三点共线，

（1）求•的值；

（2）D是线段BC上的任意点，若=x+y，求xy的最大值．

正确答案

（1）sin15o=sin(45o-30o)=，

在△OAC中，==，

===

故OA=sin15o=×=1-，

AC=sin45o=×=，

∵OA=AB=OB=1-，

故BC=AC+AB=1+，∠OBC=60°可得＜，＞=120°

∴•=（1-)(1+)×cos120°（1+×（cos120°）-

（2）∵D，B，C三点共线

故可设=λ（0≤λ≤1）

=(1-λ)+λ

∵=x+y，

故x+y=λ+（1-λ）=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1）

令f(x)=xy=x(1-x)≤()2=(0≤x≤1)或二次函数法．（13分）

题型：简答题

简答题

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=(a，b)，=(2sinA，1)，且与共线．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积是2，a+c=6，求b．

正确答案

（Ⅰ）由与共线得：a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，∵sinA≠0∴sinB=，由△ABC为锐角三角形得B=．

（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac

由S△ABC=acsinB=2得ac=8，又a+c=6

所以，b=2．

题型：简答题

简答题

已知向量m=（sin，cos），n=（cos，cos），记f（x）=m•n；

（1）若f（x）=1，求cos(x+)的值；

（2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函

数f（A）的取值范围．

正确答案

（1）f（x）=m•n=sincos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，

∵f（x）=1，∴sin（+）=，

∴cos（x+）=1-2sin2(+)=．

（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），

∵A+B+C=π，，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，

∴cosB=，B=；

∴0＜A＜，∴＜+＜，＜sin(+)＜1

∴＜+＜，＜sin (+)＜1；

又∵f（x）=sin（+）+，∴f（A）=sin（+）+，

故函数f（A）的取值范围是（1，）．

题型：简答题

简答题

设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，=(cos，sin)，=(cos，-sin)，与的夹角为

（1）求角C的大小；

（2）已知c=，△ABC的面积S=，求a+b的值．

正确答案

（1）由条件得•=cos2-sin2=cosC，

又•=||||cos=，

∴cosC=，0＜C＜π，

因此C=．

（2）S△=absinC=ab=，

∴ab=6．

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcos，

得出：(a+b)2=，

∴a+b=．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量=（2cos2A+3，2），=（2cosA，1），且∥．

（1）求角A的大小；

（2）若•=，sin（B-C）=cosA，求边长b和c．

正确答案

（1）∵向量=（2cos2A+3，2）=（2cosA，1），且∥，∴（2cos2A+3）×1-（2cosA）×2=0，解得 cosA=，

在△ABC中，可得A=．

（2）∵•=bc•sinA=bc=，

∴bc= ①．

∵sin（B-C）=cosA=，

∴B-C= 或 B-C=（舍去）．

再由 B+C=，可得 B=，C=．

再由正弦定理可得 =，

∴== ②．

由①②解得 b=，c=．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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