平面向量基本定理及坐标表示
共854题

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平面向量基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

已知三点A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．

（1）证明：AB⊥AD．

（2）若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．

正确答案

（1）证明：可得=(1，1)，=(-3，3)，•=1×(-3)+1×3=0，

∴AB⊥AD；

（2）由（1）及四边形ABCD为矩形，得=，设C（x，y），

则（1，1）=（x+1，y-4），∴，得，即C（0，5）；

∴=(-2，4)，=(-4，2)，

得•=8+8=16，||=2，||=2，

设与夹角为θ，则cosθ==＞0，

∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．

题型：填空题

填空题

如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设=m+n(m，n∈R)，则m+n的取值范围是______．

正确答案

以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（0，2），C（2，2），B（6，0）

直线BD的方程为x+3y-6=0，C到BD的距离d==

∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为（x-2）2+（y-2）2=，

设P（x，y）则 =（x，y），=（0，2），=（6，0）

∴（x，y）=（6n，2m）

∴x=6n，y=2m，

∵P在圆内或圆上

∴（6n-1）2+（2m-1）2≤，

解得1≤m+n≤．

故答案为：[1，]．

题型：填空题

填空题

已知向量=(-1，1)，=(1，2)，且(2+)∥(-λ)，则λ=______．

正确答案

因为向量=(-1，1)，=(1，2)，

所以(2+)=(-1，4)，-λ=(-1-λ，1-2λ)

因为(2+)∥(-λ)

所以2λ-1=4（-1-λ）

解得λ=-

故答案为-

题型：简答题

简答题

出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取和为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得=λ+μ，我们就把实数对（λ，μ）称作向量的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用和表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜，＞=，

（1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量和做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量的坐标；

（2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．

正确答案

（1）根据平面向量基本定理，用和表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，

对于平面向量，存在唯一的实数对p，q，使得=p+q，定义数对（p，q）为向量在斜坐标系下的坐标．

（2）设，在斜坐标系中的坐标分别为（a1，b1），（a2，b2），

那么+=（a1+a2，b1+b2）

-=（a1-a2，b1-b2）

λ=（λa1，λb1）

•=a1a2+b1b2+(a1b2+b1a2)

题型：填空题

填空题

已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λ+m+n=，那么λ+m+n的值等于______．

正确答案

∵A、B、C三点共线，∴存在实数k，使得=k

∵=-，=-

∴-=k（-），化简整理得：-（k+1）+k=

∵λ+m+n=，

∴①当k=-1时，比较系数得：m=0且λ=-n，所以λ+m+n=0

②当k≠-1时，可得==，得m=（-k-1）λ，n=kλ

由此可得：λ+m+n=λ+（-k-1）λ+kλ=0

综上所述，λ+m+n的值为0

故答案为：0

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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