数量积表示两个向量的夹角
共77题

· 数量积表示两个向量的夹角

数量积表示两个向量的夹角
共77题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知正三角形ABC中,D是BC的中点,AB=3,BD=1,则=

正确答案

解析

知识点

数量积表示两个向量的夹角

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的右焦点为，离心率，是椭圆上的动点。

（1）求椭圆标准方程；

（2）若直线与的斜率乘积，动点满足,（其中实数为常数）。问是否存在两个定点,，使得为定值？若存在，求,的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若点在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接并延长交椭圆于点，证明：。

正确答案

见解析。

解析

（1）有题设可知：∴ (2分)

又，∴，(3分)

∴椭圆标准方程为（4分）

（2）设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由得

(x，y)＝(x1，y1)＋ (x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)，

即x＝x1＋x2，y＝y1＋y2. （5分）

因为点A、B在椭圆x2＋2y2＝2上，

所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，（6分）

故x2＋2y2＝(x＋x＋2x1x2)＋2(y＋y＋2y1y2)

＝(x＋2y)＋ (x＋2y)＋2 (x1x2＋2y1y2)

＝2＋2+2 (x1x2＋2y1y2)。

设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，

由题设条件知kOA·kOB＝＝，

因此x1x2＋2y1y2＝0，

所以x2＋2y2＝2＋2. 即(7分)

所以P点是椭圆上的点，

设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，

则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值。

又因c＝

因此两焦点的坐标为F1(－，0)，F2(，0)。

所以存在两个定点F1(－，0)，F2(，0)，使得|PF1|＋|PF2|

（8分）

（Ⅲ）设，有题设可知：

由题意可知：

，∴③（9分）

④（10分）

将③代入④可得：⑤

点A，D在椭圆x2＋2y2＝2上，

∴（11分）

∴，∴ （12分）

知识点

数量积表示两个向量的夹角

题型：单选题

单选题 · 5 分

设A、P是椭圆两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP、BP分别交x轴于点M、N，则

正确答案

解析

不妨设点P是椭圆的右顶点，即P，因为A,B关于x轴对称，所以直线AP、BP与x轴的交点都是点P，即M,N,P重合，则=，

知识点

数量积表示两个向量的夹角

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知平面向量满足，，那么 ____.

正确答案

答案：

解析

略

知识点

数量积表示两个向量的夹角

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.已知向量和向量的夹角为，，则和的数量积= ______。

正确答案

解析

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知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：简答题

简答题 · 12 分

18.设、是两个不共线的非零向量（）

（1）记那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线？

（2）若,那么实数x为何值时的值最小？

正确答案

解：（1）A、B、C三点共线知存在实数

即，

则

（2）

当

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知识点

向量的模平行向量与共线向量平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知：向量、满足||＝1，||＝，

（1）若//，求：的值；

（2）若，的夹角为135°，求 |＋| ．

正确答案

（1）∵//，

①若，共向，则＝||·||＝

②若，异向，则＝－||·||＝－

（2）∵，的夹角为135°，

∴ ＝||·||·cos135°＝－1

∴|＋|2＝（＋）2 ＝2＋2＋2＝1＋2－2＝1
　　 ∴

解析

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知识点

向量的模平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（）

正确答案

解析

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知识点

零向量单位向量平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：单选题

单选题 · 5 分

2．已知向量, 都是非零向量，设：，：与的夹角是锐角，则是的（）

A充要条件

B充分不必要条件

C必要不充分条件

D既不充分又不必要条件

正确答案

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知识点

充要条件的判定平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：单选题

单选题 · 5 分

5.已知△ABC中，=a，=b，a·b<0，S△ABC=,|a|=3，|b|=5，则a与b的夹角是（）

A30°

B－150°

C150°

D30°或150°

正确答案

解析

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知识点

正弦定理数量积表示两个向量的夹角

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