- 圆的切线的性质及判定定理
- 共255题
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若
正确答案
解：（1）证明：连接OD，
得∠ODA=∠OAD=∠DAC，…（2分）
∴OD∥AE，
又AE⊥DE，…（3分）
∴DE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线 …（5分）
（2）过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
cos∠DOH=cos∠CAB=
设OD=5x，
则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，
AD2=80x2，
由△AED∽△ADB，
得AD2=AE•AB=AE•10x，
∴AE=8x，…（8分）
又由△AEF∽△DOF，
得AF：DF=AE：OD=
∴
解析
解：（1）证明：连接OD，
得∠ODA=∠OAD=∠DAC，…（2分）
∴OD∥AE，
又AE⊥DE，…（3分）
∴DE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线 …（5分）
（2）过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
cos∠DOH=cos∠CAB=
设OD=5x，
则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，
AD2=80x2，
由△AED∽△ADB，
得AD2=AE•AB=AE•10x，
∴AE=8x，…（8分）
又由△AEF∽△DOF，
得AF：DF=AE：OD=
∴
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b．其中a=14，BC边上的高为12，内切圆半径r=4．求AB的长．
正确答案
解：由题意，
∴b+c=28，bcsinA=168，
∵cosA=
∴
∴sinA=
∴bc=165，
∵b+c=28，
∴b=5，c=23或b=23，c=5，
∴AB=5或23．
解析
解：由题意，
∴b+c=28，bcsinA=168，
∵cosA=
∴
∴sinA=
∴bc=165，
∵b+c=28，
∴b=5，c=23或b=23，c=5，
∴AB=5或23．
（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则CD的长为______．
正确答案
3
解析
解：由AD与圆O相切于点D，根据切割线定理可得AD2=AE•AB，又AD=2，AE=1，∴
由CD，CB都是圆O的切线，根据切线长定理可得，设CD=x，则CB=x．
由切线的性质可得：AB⊥BC，
∴AB2+BC2=AC2，∴42+x2=（x+2）2，得x=3，即CD=3．
故答案为3．
正确答案
解析
解：∵AB为直径，BC为圆的切线
且AD=DC
∴△ABC为等腰直角三角形，
设圆的半径为1，则OB=1，BC=2，0C=
∴sin∠BC0=
∴sin∠ACO=sin（45°-∠BCO）=
故答案为：
正确答案
解析
∵DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点
∴可得等腰三角形BOD是等边三角形，
∵在直角三角形OCD中，CD=2，
∴可得OD=
∵CD是圆O的切线，∴由切割线定理得，
∴CD2=CB×CA，
即4=CB×（CB+
∴BC=
故填：
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