- 圆的切线的性质及判定定理
- 共255题
（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？
正确答案
解析
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，（3分）
∴
∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2
解：（2）直线FA与⊙O相切．（6分）
理由如下：
连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=
∴BF=BO=
∵AB=2
∴BF=BO=AB，即△ABO为等边三角形，∠BFA=∠BAF
∴∠BAO=∠OBA=60°，又∵∠OBA=∠BFA+∠BAF
∴∠BFA=∠BAF=30°
∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°．
∴直线FA与⊙O相切．（8分）
求证：（1）AD=AE；（2）AB•AE=AC•DB．
正确答案
解析
证明：（1）∵∠ADE=∠APD+∠PAD，∠AED=∠CPE+∠C，
又∠APD=∠CPE，∠PAD=∠C．
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE．
（2）∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠C，
∴△APB∽△CPA，得 
∵∠APE=∠BPD，∠AED=∠ADE=∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得 
∴
∴AB•AE=AC•DB．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；
（Ⅱ）若HE=2a，求ED．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…（2分）
由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，
又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB
∴∠DBE=∠DBC…（5分）
（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB
∴∠ADB=90°，
又由（1）得∠DBE=∠DBH，
∵HE=2a，
∴ED=a．
解析
（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB…（2分）
由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，
又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB
∴∠DBE=∠DBC…（5分）
（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB
∴∠ADB=90°，
又由（1）得∠DBE=∠DBH，
∵HE=2a，
∴ED=a．
如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E．已知BC=10，AD=4．那么直线CE与以点O为圆心，
正确答案
解析
又BA⊥DA，
∴OD∥AB．
∵OB=OC，
∴CF=EF，
∴OD⊥CE，
则四边形AEFD是矩形，得EF=AD=4．
连接OE．
在直角三角形OEF中，根据勾股定理得OF=
即圆心O到CE的距离大于圆的半径，则直线和圆相离．
故选A．
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE•CD．
正确答案
解：（Ⅰ）因为
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故
即BC2=BE×CD．（10分）
解析
解：（Ⅰ）因为
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故
即BC2=BE×CD．（10分）
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