热门试卷

证明：（Ⅰ）设线段FD延长线上一点G，则∠GDB=∠ADF，且，

∴，（2分）

又∵⊙O中OD=OB，

∴∠BDO=∠OBD，

∴，

在Rt△ABC中，

∴，∠A=∠ADF，

∴AF=FD，

又在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，

∴AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，

∴FD=CF，

∴AF=CF．（5分）

（Ⅱ）解：∵直角三角形FED中，ED=4，，

∴，

∴FE=5，（8分）

又FD=3=FC，

∴CE=2．（10分）

解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，

∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，

∴DE×DG=DF×DH，

∴，

又∵∠EDF=∠HDG，

∴△DEF∽△DHG．（4分）

（2）连接O1A，O2A，

∵AD是两圆的公切线，

∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，

∴O1O2共线，

∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，

∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）

设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，

∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，

∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）

∴DE=6x，DF=4x，∴．（10分）