- 圆的切线的性质及判定定理
- 共255题
如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，
证明：（Ⅰ）∠BFM=∠PEF；
（Ⅱ）PF2= PD·PC。
正确答案
证明：（Ⅰ）连接OE，
∵PE切⊙O于点E，
∴OE⊥PE，
∴∠PEF+∠FEO=90°，
又∴AB⊥CD，
∴∠B+∠BFM=90°，
又∴∠B=∠FEO，
∴∠BFM=∠PEF；
（Ⅱ）∵∠PEF=∠BFM，
∴∠EFP=∠PEF，
∴PE=PF，
又∵PE2=PD·PC，
∴PF2=PD·PC。
如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：∠OKM = 90°。
正确答案
证明：（1）因为
又因为
在
（2）证明：因为
又
又
故
如图，已知圆上的弧
证明： (Ⅰ)∠ACE=∠BCD；
(Ⅱ)BC2=BE·CD。
正确答案
证明：(Ⅰ)因为
所以∠BCD=∠ABC，
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC，
所以∠ACE=∠BCD．
(Ⅱ)因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC∽△ECB，
故
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
(Ⅰ)求证：DE是⊙O的切线；
(Ⅱ)若
正确答案
(Ⅰ)证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
∴OD∥AE，
又AE⊥DE，
∴DE⊥OD，
又OD为半径，
∴DE是⊙O的切线。
(Ⅱ)解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB=
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，AD2=80x2，
由△AED∽△ADB，可得AD2=AE·AB=AE·10x，
∴AE=8x，
又由△AEF∽△DOF，
可得AF：DF=AE：OD=
∴
如图，已知圆上的弧
（1）∠ACE =∠BCD；
（2）BC2=BE×CD。
正确答案
解：（1）因为
所以∠BCD=∠ABC
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC
∴∠ACE=∠BCD；
（2）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC∽△ECB
故
即BC2=BE×CD。
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