- 圆的切线的性质及判定定理
- 共255题
设相交两圆的交点为M和K，引两圆的公切线，切点分别是A、B，证明：∠AMB+∠AKB=180°．
正确答案
则△ACM∽△ACK，∴∠MAC=∠AKC，
同理∠MBC=∠BKC，
∵∠MAB+∠ABM+∠AMB=180°，
∴∠AKC+∠BKC+∠AMB=180°，
∵∠AKC+∠BKC=∠AKB，
∴∠AMB+∠AKB=180°．
解析
则△ACM∽△ACK，∴∠MAC=∠AKC，
同理∠MBC=∠BKC，
∵∠MAB+∠ABM+∠AMB=180°，
∴∠AKC+∠BKC+∠AMB=180°，
∵∠AKC+∠BKC=∠AKB，
∴∠AMB+∠AKB=180°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=
正确答案
解析
证明：（1）连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
∴∠PAO=∠PBO．（2分）
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB．（4分）
又∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线，（5分）
（2）解：连接OP，交AB于点D
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分线段AB，（7分）
∴∠PAO=∠PDA=90°．
又∵∠APO=∠DPA，
∴△APO∽△DPA，
∴
∴AP2=PO•DP．
又∵OD=
∴PO（PO-OD）=AP2，
即：PO2-
解得PO=2，（9分）
在Rt△APO中，
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
正确答案
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）
所以
解析
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）
所以
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若AB=2
正确答案
解析
解（1）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．
（2）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即（r+2
解得r=2
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=
正确答案
解析
解：∵BC⊥AP，∴BP2=BC2+CP2=32+42=25，∴BP=5．
又AC与BC都是⊙O的切线，∴AC=BC=3，
由切割线定理可得PA2=PB•PD，∴72=5×（5+DB），解得
∴弦DB的长为
故答案为
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