热门试卷

（1）3;（2）

试题分析：（1）根据函数求出导函数，再根据所给的不等式，利用恒成立的条件求出实数的范围，从而确定的最大值.

（2）由（1）可得的值，从而根据函数确定函数的解析式，由于函数有三个零点，所以通过对函数求导，了解函数的图像的走向，以及对函数的极值的正负性作出规定，即可得到所需的结论.

试题解析：（1）   对于恒有，即对于恒成立

（2）有三个零点

有三个不同的实根 ，则

令解得

情况如下表：

由上表知，当时取得极大值，当时取得极小值

数形结合可知，实数的取值范围为 .

（1）时，，；（2）

试题分析：(1)将代入解析式，利用导函数求出驻点然后在分析导函数的正负，从而得出函数的单调性求出最值，；（2）将对于任意的，都有成立转化为对任意，恒成立，然后利用参变分离求解即可.

试题解析：（1)当时，，．   1分

或，当在上变化时，，的变化情况如下表：

  4分

∴时，，．   5分

（2）命题等价于对任意，

恒成立，

即对任意恒成立.

则，有，

又，                          9′

只需或.

综上：的取值范围为或.                     12′

（Ⅰ）时，单调递增区间为；时，单调递减区间为，

单调递增区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析

试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，根据和分类讨论得出函数的单调区间；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中时的单调性可知，即，构造函数，由导函数分析可得在上增，在上递减，则，由对任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，从而问题等价转化为证.

试题解析：（Ⅰ）                          1分

时，，在上单调递增。                     2分

时，时，，单调递减，

时，，单调递增.            4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），时，

                          5分

即，记 

在上增，在上递减

故，得                        8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），即，则时，

要证原不等式成立，只需证：，即证：

下证   ①                                     9分

①中令，各式相加，得

成立，                          

故原不等式成立.                                                 14分

方法二：时，

时，

时，

(Ⅰ); (Ⅱ)的取值范围为[1,].

试题分析：(Ⅰ)先由过点得出，再求在点导数，由导数几何意义知，从而解得；

(Ⅱ)设==()=, 由题设可得≥0,即, 令=0得,=,="-2," 对分3中情况讨论得出结果.

试题解析：(Ⅰ)由已知得,

而=,=,∴=4,=2,=2,="2;"  

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,, 设函数

==(),==, 由题设可得≥0,即, 令=0得,=,="-2,"

(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0, ∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,

(2)若,则=, ∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而="0," ∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,

(3)若,则==<0, ∴当≥-2时,≤不可能恒成立,

综上所述,的取值范围为[1,].

(Ⅰ) (Ⅱ)函数的单调递增区间为；单调递减区间为 (Ⅲ)

函数的定义域为， …………2分

(Ⅰ)当时，，

 ∴在处的切线方程为………5分

(Ⅱ)

所以当，或时，，当时，

故当时，函数的单调递增区间为；

单调递减区间为…………8分

(Ⅲ)当时，由(Ⅱ)知函数在区间上为增函数，

所以函数在上的最小值为

若对于使成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）…………10分

又

①当时，在上为增函数，与（*）矛盾

②当时，，

由及得， …………12分

③当时，在上为减函数，， 此时

综上所述，的取值范围是 …………14分

（1）0；（2）（ⅱ）

试题分析：（1）先求的导数，利用求出的单调区间，从而判断出函数在何处取得最小值以及最小值是多少.（2）（ⅰ）当时，的图象与的图象交点的个数等于函数的零点的个数；可利用导数探究函数的单调性，作函数有一零的证据之一；（ⅱ）当时，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，利用的导数研究其单调性，注意参变量，对函数单调性及最值的影响，适时进行分类讨论.

试题解析：（1）求导数，得f ′(x)＝ex－1．

令f ′(x)＝0，解得x＝0．

当x＜0时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数；

当x＞0时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

故f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0．                 4分

（2）设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x－ax2，则h′(x)＝ex－1－2ax．[

（ⅰ）当a＝时，y＝ex－1－x的图象与y＝ax2的图象公共点的个数等于

h(x)＝ex－1－x－x2零点的个数．

∵h(0)＝1－1＝0，∴h(x)存在零点x＝0．

由（1），知ex≥1＋x，∴h′(x)＝ex－1－x≥0，

∴h(x)在R上是增函数，∴h(x)在R上有唯一的零点．

故当a＝时，y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有唯一的公共点．   9分

（ⅱ）当x＞0时，y＝f(x)的图象恒在y＝g(x)的图象的上方

⇔当x＞0时，f(x)＞g(x)，即h(x)＝ex－1－x－ax2＞0恒成立．

由（1），知ex≥1＋x（当且仅当x＝0时等号成立），

故当x＞0时，ex＞1＋x．

h′(x)＝ex－1－2ax＞1＋x－1－2ax＝(1－2a)x，

从而当1－2a≥0，即a≤时，h′(x)≥0（x＞0），

∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数，又h(0)＝0，

于是当x＞0时，h(x)＞0．

由ex＞1＋x（x≠0），可得e－x＞1－x（x≠0），

从而当a＞时，h′(x)＝ex－1－2ax＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，

故当x∈(0，ln2a)时，h′(x)＜0，

此时h(x)在(0，ln2a)上是减函数，又h(0)＝0，

于是当x∈(0，ln2a)时，h(x)＜0．

综上可知，实数a的取值范围为(－∞，]．           14分

(I)时，单调减区间为(0,1)，单调增区间为；时，单调减区间为，单调增区间为.(II)

试题分析：(I) 首先求函数的导数，然后分或 求出使 >0或 <0的区间即可.(II) 存在使等价于，分或，分别求出满足的a的取值即可.

试题解析：函数定义域为   2分

(I)当时，

在(0,1)上递减，上递增   4分

当时，

即在(0，1)，递减，在上递增   8分

(Ⅱ)存在使等价于

当时，

当 l时，

则显然存在使   11分

综上，   12分

(1) ；（2）递增区间为（1,2），递减区间为（0,1），；（3）.

试题分析：(1)将代入，分别得到，，再由点斜式得到在处的切线方程为；（2）将代入得到，从而得到递增区间为（1,2），递减区间为（0,1），；（3）先将题设条件转化为在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.再得到，然后讨论的范围，又在[1,2]上最小值为.由单调性及从而得到的取值范围为.

试题解析：(1)函数的定义域为

，

当时，，，

，故.

所以在处的切线方程为.

(2)当时，.

故当或时，；当时，.

所以函数的递增区间为（1,2），递减区间为（0,1），.

(3)由（2）知，在（1,2）上为增函数，

所以在[1,2]上的最小值为，

若对于[1，2]，[0，1]，使成立在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.

又，

当时，在[0,1]上为增函数，与题设不符.

当时，，由及，得；

当时，在[0,1]上为减函数，及得.

综上所述，的取值范围为.

当时的减区间为，增区间为；当时，减函数为，增区间为和；当时；增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间为和；当时，的减区间为，增区间为．

试题分析：若要讨论的单调性，先求出函数的定义域为，接着求导，这是一个含参的二次函数形式，讨论函数的单调性，则分三种情况，当时分三种情况讨论．最后汇总一下分类讨论的情况．

试题解析：函数的定义域为，．

当时，的减区间为，增区间为；

当时，令得；

当时，的减区间为，增区间为；

当时，减函数为，增区间为和

当时，增区间为，无减区间；

当时，的减区间为，增区间为和；

当时，，的减区间为，增区间为．

综上，当时的减区间为，增区间为；

当时，减函数为，增区间为和；

当时；增区间为，无减区间；

当时，的减区间为，增区间为和；

当时，的减区间为，增区间为．