热门试卷

全集U={-1，0，1，2，3，4，5}，

A={1，2}，B={0，1}

可得∁UA={-1，0，3，4，5}，

A∪B={0，1，2}，A∩B={1}．

∵集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0}={a}，

∴方程x2+（b+2）x+b+1=0有两个等根，∴△=0，

即（b+2）2-4（b+1）=0，∴b=0，

∴x2+（b+2）x+b+1=0即x2+2x+1=0，∴x=-1，

∴集合B={x|x2+ax+b=0}={x|x2-x=0}={0，1}，

集合B的真子集有∅，{1}，{0}．

（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1分）

因为对任意不大于10的正整数m，

都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1-b2|=m成立．（2分）

集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性质P．（3分）

因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*

都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1．（4分）

（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}

①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．（5分）

首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x0∈T，其中x0∈S，

因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，…，2000}，

从而1≤2001-x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）

由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，

使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m．

对于上述正整数m，

从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1，t2=2001-x2，其中x1，x2∈S，

则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m，

所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P．（8分）

②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．

任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，

所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，

不妨设S中有t(t≥)个元素b1，b2，…，bt不超过1000．

由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，

使得对S中任意两个元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，

所以一定有b1+m，b2+m，…，bt+m∉S．

又bi+m≤1000+1000=2000，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A，

即集合A中至少有t个元素不在子集S中，

因此k+≤k+t≤2000，所以k+≤2000，得k≤1333，

当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，

取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，

都有|y1-y2|≠667，即集合S具有性质P，

而此时集合S中有1333个元素．

因此集合S元素个数的最大值是1333．（14分）

∵A={x|x=2k，k∈Z}={偶数}，

B={x|x=2k+1，k∈Z}={奇数}，

C={x|x=2（k+1），k∈Z}={偶数}，

D={x|x=2k-1，k∈Z}={奇数}，

∴A=C，B=D；A∩B=∅，A∩C=∅，C∩B=∅，C∩D=∅．

∵=2+=2+×1，而2，1∈Z，

∴2+∈A，即∈A．

（1）{1，2，3，4，5，6}；

（2）{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}

（3）{-1，0，3}．

∵5∈A，且5∉B，∴，

即，∴a=-4．