热门试卷

（1）参考解析;（2）;（3）成立,参考解析

试题分析：（1）由(是自然对数的底数，)，且,即可求出.再根据导函数的值即可求出单调区间.

（2）对任意，恒有成立,通过去分母,整理成两个函数的单调性的问题即，则在上单调递增,又,再通过求导即可得到m的取值范围.

（3）若正实数满足，，则.通过代入函数关系式消元再用基本不等式即可得到结论.当，且是互不相等的实数时，不等式是否仍然成立.有数学归纳法证明,当n=k+1时利用转化为k项的形式.再通过构造即可得到结论.

（1）∵，，故．           1分

令得；令得.      3分

所以的单调递增区间为；单调递减区间为．      4分

（2）由变形得：．     5分

令函数，则在上单调递增.           6分

即在上恒成立.           7分

而（当且仅当时取“=”）

所以．                             9分

（3）证明：不妨设，由得：

其中，故上式的符号由因式“”的符号确定．

令，则函数．

，其中，得，故．即在上单调递减，且．所以．

从而有成立．

该不等式能更进一步推广：

已知，是互不相等的实数，若正实数满足，则．

下面用数学归纳法加以证明：

i）当时，由（2）证明可知上述不等式成立；

ii）假设当时，上述不等式成立．即有：．

则当时，由得：，于是有：

．

在该不等式的两边同时乘以正数可得：．

在此不等式的两边同时加上又可得：．

该不等式的左边再利用i）的结论可得：．整理即得：．

所以，当时，上述不等式仍然成立．

综上，对上述不等式都成立．                  14分

当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．

由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．

（1）见解析（2）

(1)易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.于是c≥1，

且c≥2 ＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.

故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.

(2)由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有

M≥

令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.

而函数g(t)＝2－ (－1＜t＜1)的值域是.

因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.

当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤ (c2－b2)恒成立．

综上所述，M的最小值为.

（1）（2），

试题分析：（1） 解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题解题思路清晰，就是根据扇环面的周长列函数关系式，因为扇环面的周长为两段弧长加两段直线，利用弧长公式，得所以 ，（2） 本题解题思路清晰，就是根据花坛的面积与装饰总费用的比列函数关系式，再由导数或基本不等式求最值. 装饰总费用为直线部分的装饰费用与弧线部分的装饰费用之和，而花坛的面积为大扇形面积与小扇形面积之差，求最值时要注意定义域范围的限制.

试题解析：（1）设扇环的圆心角为q，则，所以，  4分

（2）花坛的面积为． 7分

装饰总费用为，           9分

所以花坛的面积与装饰总费用的，        12分

令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．

答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．           15分

（1）－（2）

(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.

由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.

由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－

(2)∵x>0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.

当x≥0时，g（x）=x2，f[g（x）]=2x2-1，

当x＜0时，g（x）=-1，f[g（x）]=-2-1=-3，

∴f[g（x）]=

∵当2x-1≥0，即x≥时，g[f（x）]=（2x-1）2，

当2x-1＜0，即x＜时，g[f（x）]=-1，

∴g[f（x）]=

（1）y＝(x＞2)（2）4(＋1) km2.

(1)因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，所以x(＋)sin 45°＋y(＋)·sin 30°＝xysin 75 °，

即x(＋)＋y(＋)＝xy，

所以y＝(x＞2)．

(2)△AOB的面积S＝xysin 75°＝xy＝×＝ (x－2＋＋4)≥×8＝4(＋1)．

当且仅当x＝4时取等号，此时y＝4.

故OA＝4 km，OB＝4km时，△OAB面积的最小值为4(＋1) km2

（Ⅰ）2；（Ⅱ）略

试题分析：（Ⅰ）将整体代入原函数即可求的值。（Ⅱ）在上任取两个实数，并规定其大小关系，如令，再用作差法比较的大小。最后利用函数单调性的定义得在上的单调性。

试题解析：（Ⅰ）解：                   2分

.                      4分

（Ⅱ）证明：设是上的两个任意实数，且，

                               5分

.                       7分

因为，所以，，.所以.

所以.                                             9分

所以在上是减函数.                                 10分

由函数的定义可知，函数是从定义域到值域的映射，

因此，值域中的每一个元素，在定义域中一定能有原象与之对应．

由对应法则，1对应4，2对应7，3对应10，m对应3m+1．

∵m∈N*，a∈N*，∴a4≠10，a2+3a=10，

∴a=2或a=-5（a=-5舍去）

又3m+1=24，

∴m=5，故A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}．

（1）具有该性质,证明见解析;（2）;（3）证明见解析.

试题分析：（1）创新定义问题,首先要读懂具有性质P(m)的意思, 对于给定的（且），存在，使得，按照此定义进行判断,假设具有该性质, 设，令,解得,满足定义,故具有性质P(3);（2）m在0到1之间,取一半,看是

具有性质P(),如果有,再判断是否有大于的m,没有的话,最大值就是;（3）构造函数，则,……=-,相加,有,分里面有零和没零进行讨论,得到结论.

试题解析：（1）设，即

令, 则

解得,

所以函数具有性质

（2）m的最大值为.

首先当时，取,

则，,

所以函数具有性质,

假设存在，使得函数具有性质, 

则,

当时，，，,

当时，，，,

所以不存在，使得,

故的最大值为.  

（3）任取,

设，其中,

则有,

,

,

……

,

……

,

以上各式相加得：,

当中有一个为时，不妨设为，

即,

则函数具有性质,

当均不为时，由于其和为，则必然存在正数和负数，

不妨设其中，,

由于是连续的，所以当时，至少存在一个,

（当时，至少存在一个）,

使得，

即,

故函数具有性质.

（1）6年；（2）4或5．

试题分析：（1）求需经过多少时间，该生物的身长超过8米，实质就是解不等式，不等式解集中的最小值就是本题结论；（2）首先要搞懂什么是“长得最快”，“长得最快”就是说明这一年该生物身体增长的长度最大，因此实质就是求的最大值，即就是这个最大值，下面我们只要求出，分析它的最大值是在为何值时取得，

，此式较繁，因此我们用换元法，设，由有

，它的最大值求法一般是分子分母同时除以，然后用基本不等式及不等式的性质得到结论．

试题解析：（1）设，即，解得，

即该生物6年后身长可超过8米；              5分

（2）设第年生长最快，于是有

，    8分

令，则，

令，    11分

等号当且仅当即，，时成立，因为，因此可能值为4或5，由知，所求有年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．   14分

（Ⅰ）见解析；（II）的取值范围.

试题分析：（Ⅰ）利用间的关系解答，写出相减，然后根据等比数列定义确定答案；（II）利用（Ⅰ）的结果和等比数列通项公式求出，然后构造出不等式，求出解关于的不等式得出答案.

试题解析：（Ⅰ） 时，，两式相减可得，，

是以为首项，为公比的等比数列.     6分

（II）由（Ⅰ）可得，，

即，

即在上恒成立，由，即， 或， ，

即所求的取值范围.    12分