热门试卷

（Ⅰ）函数在上的值域为，函数在不是有界函数；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）当时，函数，此时可设，由，那么，所以函数可转化成，易知在上单调递增，从而可求出值域为；故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数

（Ⅱ）先求出在上的最大值与最小值，根据，再确定的大小关系，得出上界范围；（Ⅲ）函数在上是以为上界的有界函数，则在上恒成立.将问题转化成而求得.

试题解析：（Ⅰ）当时， 

因为在上递减，所以，即在的值域为.

故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数.

（Ⅱ），∵，  ∴在上递减，

∴   即

∵，∴，∴，

∴ ，即

（Ⅲ）由题意知，在上恒成立.

，∴ 在上恒成立

∴

设，，， 由得，

设，, 所以在上递减，在上的最大值为，

又，所以在上递增，

在上的最小值为.

所以实数的取值范围为.

（1）∵f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，

∴f（-x）=f（x）（1分）

设x＜0，则-x＞0，f（-x）==

∴f(x)=-（3分）

∴f(x)=（4分）

（2）当x＞0时，f(x)==x++1，f′(x)=1-（6分）

令f'（x）=0⇒x=2

∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，

x∈（2，+∞）时，f'（0）＞0，f（x）是增函数，（8分）

且函数f（x）在此区间上有极小值y极小=f（2）=5

又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称

∴x＜0时，f（x）的增区间为（-2，0），减区间为（-∞，-2）（10分）

综上所述，f（x）在区间（-∞，-2）和（0，2）上是减函数

在区间（-2，0）和（2，+∞）上是增函数，值域为f（x）∈[5，+∞）（12分）

（1）的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）．

试题分析：解题思路（1）分离参数转化从基本不等式求最值；（2）由（1）得出的值域，再利用一元二次函数的单调性求值．规律总结：涉及分式求最值，往往利用分离参数法，出现定值，以便运用基本不等式求解；求一元二次函数的值域要注意运用数形结合思想．

试题解析：(1)，

令，由于在内单调递增，在内单调递减，∴容易求得的单调递增区间为；单调递减区间为．

(2)∵在上单调递减，∴其值域为，

即时，．

∵为最大值，∴最小值只能为，

若，则；若，则；

综上得．

（1），时是偶函数，时，非奇非偶函数；（2）；（3）证明见解析.

试题分析：（1）直接代入已知可求得，根据奇偶函数的定义可说明函数是奇（偶）函数，如果要说明它不是奇（偶）函数，可举例说明，即或；（2）据题意，即当时，总有成立，变形整理可得，由于分母，故，即，注意到，，从而，因此有；（3）在（2）的条件下，，理论上讲应用求出零点，由函数表达式可看出，当时，无零点，当时，函数是递增函数，如有零点，只有一个，解方程，即，根据零点存在定理确定出，这个三次方程具体的解求不出，但可变形为，想到无穷递缩等比数列的和，有，因此可取.证毕.

（1）由得，解得.

从而，定义域为

当时，对于定义域内的任意，有，为偶函数  2分

当时，从而，不是奇函数；，不是偶函数，非奇非偶.      4分

（2）对于任意的，总有恒成立，即，得.    6分

，，，从而.

又，∴，的最小值等于.      10分

（3）在（2）的条件下，.

当时，恒成立，函数在无零点.    12分

当时，对于任意的，恒有，

即，所以函数在上递增，又，，

在是有一个零点.

综上恰有一个零点，且        15分

，得，

又，故，

取          18分

（1），（2），（3）方案二B比方案一更经济

试题分析：（1）根据方案一，则仓库的底面直径变成16m，由圆锥的体积公式建立模型．根据方案二，则仓库的高变成8m，由圆锥的体积公式建立模型．

（2）根据方案一，仓库的底面直径变成16m，由表面积公式建立模型；根据方案二，则仓库的高变成8m，由表面积公式建立模型，

（3）方案更经济些，在于容量大，用材少，即体积大，表面积小，所以比较V2，V1，S2，S1即可．

试题解析：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成,则仓库的体积

如果按方案二，仓库的高变成，则仓库的体积

（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成,半径为.

棱锥的母线长为

则仓库的表面积

如果按方案二，仓库的高变成.

棱锥的母线长为则仓库的表面积

（3），方案二B比方案一更经济.

（1）当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或；（2）的取值范围是.

试题分析：（1）本小题是含参数的一元二次不等式问题，求解时先考虑因式分解，后针对根的大小进行分类讨论，分别写出不等式的解集即可；（2）不等式的恒成立问题，一般转化为函数的最值问题，不等式即在上恒成立可转化为（），而函数的最小值可通过均值不等式进行求解，从而可求得的取值范围.

试题解析：（1）由得，即 1分

当，即时，原不等式的解为或   3分

当，即时，原不等式的解为且      4分

当，即时，原不等式的解为或

综上，当时，原不等式的解集为或；当时，解集为且；当时，解集为或    6分

（2）由得在上恒成立，即在上恒成立，所以（）    8 分

令，则     10分

当且仅当等号成立

，即

故实数的取值范围是     12分.

（Ⅰ）（）．                         

（Ⅱ）．                                              

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．

（Ⅰ）时，或．

由于是正项数列，所以．

当时，

，                               

整理，得．

由于是正项数列，∴．

∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．      

从而，当时也满足．

∴（）．                         

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

对于上的凹函数，有．

根据定理，得．　　　　　　　　　　　

整理，得．

令，得．          

∴，即．

∴．                                              

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．

(1)；(2)当m时,有0个公共点;当m=,有1个公共点;当m有2个公共点；(3).

试题分析：(1)f (x)的反函数. 直线y=kx+1恒过点P（0，1），该题即为过某点与曲线相切的问题，这类题一定要先设出切点的坐标，然后求导便可得方程组，解方程组即可得k的值.

(2)曲线y=f(x)与曲线 的公共点个数即方程 根的个数. 而这个方程可化为

，令，结合的图象即可知道取不同值时，方程的根的个数.

(3) 比较两个式子的大小的一般方法是用比较法，即作差，变形，判断符号.

结合这个式子的特征可看出，我们可研究函数的函数值的符号，而用导数即可解决.

试题解析：(1)f(x)的反函数.设直线y=kx+1与相切于点，则.所以                      4分

(2)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线的公共点个数即方程根的个数. 5分

由，令，

则 在上单调递减，这时； 在上单调递增，这时；所以是的最小值.     6分

所以对曲线y=f(x)与曲线公共点的个数,讨论如下:

当m时,有0个公共点;

当m=,有1个公共点;

当m有2个公共点;                  8分

(3)设 

          9分

令，则，

的导函数，所以在上单调递增，且，因此，在上单调递增，而，所以在上.  12分

当时，且即，

所以当时，                    14分

（1）0，（2）当x∈ (其中a∈(0, 1), 且a为常数)时,

f(x)存在最小值,,且最小值为f(a)= -a+log2

（1）f(x)的定义域是(-1, 1),

∵f(-x)=-(-x)+log2=-(-x+log2)="-" f(x)

∴f(x)为奇函数.    ∴f()+f(-)="0.         " ……5分

（直接运算也可以）

(2)设-1< x1< x2 <1, 

∵f(x2)-f(x1)=" -" x2+ log2-[- x1+ log2]       ……7分

="(" x1- x2)+ log2, 

∵x1- x2< 0, 1+x1-x2- x1x2-(1+x2-x1- x1x2)=2(x1- x2)<0, 

∴1+x1-x2- x1x2< 1+x2-x1- x1x2.

∴0<<1.

∴log2< 0.

∴f(x2)-f(x1) < 0. ∴f(x)在(-1, 1)上单调递减.        ……10分

∴当x∈ (其中a∈(0, 1), 且a为常数)时,

f(x)存在最小值,,且最小值为f(a)= -a+log2               ……12分

（1）k＝（2）若0，曲线y＝f(x)与y＝mx2没有公共点；若m＝，曲线y＝f(x)与y＝mx2有一个公共点；若m>，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点

(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.

设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图像在P(x0，y0)处相切，则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝，

解得x0＝e2，k＝.

(2)曲线y＝ex与y＝mx2的公共点个数等于曲线y＝与直线y＝m的公共点个数．

令φ(x)＝，则φ′(x)＝，∴φ′(2)＝0.

当x∈(0，2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增．

∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝.

综上所述，当x>0时，大致图像如图所示，

若0，曲线y＝f(x)与y＝mx2没有公共点；

若m＝，曲线y＝f(x)与y＝mx2有一个公共点；

若m>，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点