集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

我省某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值万元与投入万元之间满足：

为常数。当万元时，万元；

当万元时，万元。（参考数据：）

（1）求的解析式；

（2）求该景点改造升级后旅游利润的最大值。（利润＝旅游增加值－投入）。

正确答案

（1）（2）24.4万元.

试题分析：（1）用待定系数法，把给定的两组数据代入函数解析式联立方程组解出的值即可.(2)首先用导数知识判断函数的单调性，从而求出极大值点，进而求得最大值.

试题解析：（1）由条件 2分

解得 4分

则 6分

（2）由

则 9分

令（舍）或

当时，，因此在（10，50）上是增函数；

当时，，因此在（0，+∞）上是减函数，

为的极大值点 11分

即该景点改造升级后旅游利润）的最大值为万元。 12分

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题型：填空题

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填空题

已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则= .

正确答案

-2

略

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题型：简答题

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简答题

正确答案

（1）a =" ln" 3

（2）an =（m－）· 4n－1 +

（1）∵ 函数f (x) 在x = 1处连续，f（1）= 2×1 + 1 = 3，

∴ ， 3 = ea，∴ a =" ln" 3． ………… 5分

（2）∵ 对任意n有an＞1，∴ f (2an－1) =" 2" (2an－1) + 1 = 4an－1，

于是an+1 = f（2an－1）－1 =（4an－1）－1 = 4an－2，

∴ an+1－= 4（an－），表明数列 { an－}是以a1－= m－为首项，4为公比的等比数列，于是 an－=（m－）· 4n－1，

从而an =（m－）· 4n－1 +． …………………… 12分

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题型：填空题

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填空题

设是方程的解，且，，则___________.

正确答案

2

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）已知函数

(1)求的定义域;

(2)在函数的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于轴;

(3)当满足什么条件时,在上恒取正值.

正确答案

（1）的定义域为

（2）任取则必有故函函数的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于轴.

（3）只需，即当时，在上恒取正值

解：(1)由得，

由于所以，即的定义域为

(2)任取,且

在上为增函数,在上为减函数,

即

又在上为增函数, 在上为增函数.

所以任取则必有故函函数的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于轴.

(3)因为是增函数，所以当时，，

这样只需，即当时，在上恒取正值

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题型：填空题

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填空题

某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则= 吨。

正确答案

20

解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，

则需要购买次，运费为4万元/次，

一年的总存储费用为4x万元，

一年的总运费与总存储费用之和为•4+4x万元，

当且仅当=4x即x=20吨时，等号成立

即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）已知函数对任意，都有.

（1）求和的值；

（2）若数列满足：则数列是等差数列吗？请给予证明。

（3）令，试比较与的大小。

正确答案

解：（1）因为所以。

令得，所以。

（2）

又

两式相加得

所以又

所以数列是等差数列。

（3）因为所以

)

所以

略

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题型：简答题

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简答题

20世纪90年代，气候变化专业委员会向政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2体积分数增加。据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位。若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数与年份增加数（即当年数与1989的差）的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数）或函数（其中为常数，且），（1）根据题中的数据，求和的解析式；（2）如果1994年大气中的CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。

正确答案

（1）根据题中的数据，得：和，……………（2分）

解得：和，

∴，。……………（6分）

（2）∵，……………（8分）

更接近于，∴选用作为模拟函数较好

略

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题型：填空题

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填空题

设函数f(x)=对任意x恒成立，则实数m的取值范围是_______

正确答案

m<-1

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.

（1）判断函数是否是“S-函数”；

（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.

正确答案

(1)是

(2) 满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=

(3)

解：（1）若是“S-函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.

即x2=a2-b时，对xÎR恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，

因此不是“S-函数”.………………………………………………3分

若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，

即存在常数对（a, 32a）满足.

因此是“S-函数”………………………………………………………6分

（2）是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:

则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7分

因此，,

则有.

即恒成立. ……………………………9分

即,

当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.

因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.…12分

(3) 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，

于是

即,

，.……………………14分

.………16分

因此, …………………………………………17分

综上可知当时函数的值域为.……………18分

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）.某商品在近30天内，每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是：

该商品的日销售量Q(件)与时间（天）的函数关系是:Q=－t+40 (0)，

求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？

正确答案

这种商品日销售金额的最大值是1125元，日销售金额最大的一天是30天中的第25天.

解：设日销售额为y元，则

答: 这种商品日销售金额的最大值是1125元，日销售金额最大的一天是30天中的第25天.

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题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）已知二次函数．

（1）若a>b>c，　且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；

（2）若对，方程有2个不等实根，；

（3）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使f（m）=－a成立时，f（m+3）为正数，若

存在，证明你的结论，若不存在，说明理由.

正确答案

（1）略（2）略（3）即存在这样的实数m使f（m）=－a成立时，f（m+3）为正数.

解:　（1）的图象与x轴有两个交点.

（2）令，则是二次函数.

的根必有一个属于.

（3）的一个根，由韦达定理知另一根为,1+=,=-1

∵ a>b>c，a>0 ∴ <1 ∴ >-1 =-1>-2

∵ 在（1,+∞）单调递增，

，即存在这样的实数m使f（m）=－a成立时，f（m+3）为正数.

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题型：简答题

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简答题

某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2 500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为(万元)(0≤≤5)，其中是产品售出的数量(单位：百台)

(1)把利润表示为年产量的函数；

(2)年产量多少时，企业所得的利润最大；

(3)年产量多少时，企业才不亏本？

正确答案

（1）

（2）当生产475台时，利润最大．

（3）企业年产量在10台到4 800台之间时，企业不亏本．

解：(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，

当x≤5时，产品能全部售出，当x＞5时，只能销售500台，所以

＝

(2)在0≤x≤5时，y＝－x2＋4.75x－0.5，当x＝－＝4.75百台时，ymax＝10.781 25 万元．

当x＞5 百台时，y＜12－0.25×5＝10.75 万元，所以当生产475台时，利润最大．

(3)要使企业不亏本，即要求：或

解得5≥x≥4.75－≈0.1 百台或5＜x＜48 百台，即企业年产量在10台到4 800台之间时，企业不亏本．

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题型：简答题

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简答题

某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告宣传，经调查，每投入广告费t（百万元）可增加的销售额约为（百万元）。

（I）若该公司将当年的广告宣传费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费才能使公司由此获得的收益最大。

（II）现该公司准备投入3百万元，分别用于广告宣传和技术改造，经预测，每投入技术改造费x（百万元）可增加的销售额约为（百万元），请设计资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大。（注：收益=销售额—投入）

正确答案

（I）投入广告费2百万元时其收益最大

（II）略

解：（I）设通过广告费获得的收益为y百万元，则……………1分

……………3分

则当……………4分，

因此投入广告费2百万元时其收益最大………5分．

（II）设收益为y百万元，则

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题型：简答题

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简答题

（12分）已知函数上为增函数.

（1）求k的取值范围；

（2）若函数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.

正确答案

k≤1，

21解：（1）由题意……………………1分

因为上为增函数，所以上恒成立，…3分

即，所以……………………4分

当k=1时，恒大于0，故上单增，符合题意.

所以k的取值范围为k≤1.……………………5分

（2）设，

令………………7分

由（1）知k≤1，

①当k=1时，在R上递增，显然不合题意………8分

②当k<1时，的变化情况如下表：

……………………10分

由于图象有三个不同的交点，即方程，

也即有三个不同的实根。故需即

所以解得。综上，所求k的范围为.……………………12分

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