集合与函数的概念_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数（是常数且）

（1）若函数的一个零点是1，求的值；

（2）求在上的最小值；

（3）记若，求实数的取值范围。

正确答案

（1）；（2）；（3）.

试题分析：(1)因为1是的一个零点，将1代入得，求得；（2）由题意，先讨论二次项系数，得最小值，然后讨论对称轴分别位于区间的各种情况，求出的最小值，合并得到的最小值，注意分类讨论时不重不漏；（3）由题意即相当于恒成立，分离参数即可得恒成立，令，，分求得的最大值为，所以.

试题解析：(1)由题意知 2分

（2）

ⅰ当时 3分

ⅱ当时，对称轴为

4分

ⅲ当时，抛物线开口向下，对称轴

若即时，

若即时， 7分

综上所述， 8分

（3）由题意知：不等式无解

即恒成立 10分

即对任意恒成立 11分

令则对任意恒成立12分

ⅰ当时 13分

ⅱ当时14分

ⅲ当时15分

即16分

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数，，且的解集为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，且，求证：

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

试题分析：（Ⅰ）将问题转化为有解，且其解集为，又解集为，所以；（Ⅱ）利用柯西不等式解答.

试题解析：（1）因为，等价于， 2分

由有解，得，且其解集为，又解集为，所以. 5分

（2）由（1）知，又，由柯西不等式得10分

1

题型：填空题

|

填空题

已知，则= .

正确答案

试题分析：令，则，，所以，

所以，没有不扣分.

1

题型：简答题

|

简答题

（14分）病人按规定的剂量服用某药物，测得服药后，每毫升血液中含药量（毫克）与时间（小时）满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数（为常数）衰减．如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血液中药物含量随时间变化的曲线．

（1）求函数的解析式；

（2）已知每毫升血液中含药量不低于0.5毫克时有治疗效果，低于0.5毫克时无治疗效果．求病人一次服药后的有效治疗时间为多少小时？

正确答案

（1）；（2）有效治疗时间为小时。

本试题主要是考查了正比例函数和指数函数的实际应用．关键是建立两个函数关系式，当函数值相等时，分别求出自变量的值并作差。

（1）因为当时，与成正比例，设为，

又过（1，4）点， ∴∴，当时，，又过（1，4）、（2,2）点，得到关系似的饿到M,a的值。

（2）那么哟啊是的有效治疗，则只要满足f(x)即可得到结论。

（1）当时，与成正比例，设为，

又过（1，4）点， ∴∴， …………………………2分

当时，，又过（1，4）、（2,2）点，

所以，所以所以 …………6分

所以 …………………………8分

则当时，有治疗效果

所以有效治疗时间为小时　　　…………………………14分

（或解方程，再求两根差）

1

题型：填空题

|

填空题

众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a元)、包装成本(b元)、利润．生产成本(a元)与饼干重量成正比，包装成本(b元)与饼干重量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试写出该种饼干1000克装的合理售价．

正确答案

13.7元

解：设饼干的重量为x克，则其售价y(元)与x(克)之间的函数关系式为y＝(ax＋b)(1＋0.2)．

由已知有1.6＝(100a＋b)(1＋0.2)，

即＝100a＋10b.

又3＝(200a＋b)(1＋0.2)，

即2.5≈200a＋14.14b.

∴0.167≈5.86b.

∴.

∴y＝(1.05×10－2x＋0.0285)×1.2.

当x＝1000时，y≈13.7(元)．

∴估计这种饼干1000克装的售价为13.7元．

1

题型：简答题

|

简答题

若为正实数且满足．

（1）求的最大值为；（2）求的最大值．

正确答案

（1）的最大值为；（2）的最大值为．

试题分析：（1）由已知，（定值），利用三元均值不等式，即可求得最大值；（2）利用柯西不等式：，当且仅当，即当时，等号成立，此时取最大值，最后求得的最大值．

试题解析：（1），．

当且仅当即时等号成立．所以的最大值为． 3分

（2）由柯西不等式，，当且仅当即时等号成立．

所以的最大值为． 7分．．

1

题型：简答题

|

简答题

已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且

（1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？

（注：年利润=年销售收入-年总成本）

正确答案

(1)；(2) 时，取最大值.

试题分析：本题是实际应用题(1)利用年利润=年销售收入-年总成本及每千件的销售收入,分段及来表示；（2）在每一段内利用导数判函数的单调性,求每一段内的最值，两段比较最大者为最大值.

试题解析：（1）当时，

当时，

4分

（2）①当时，由，得且当时，；当时，；

当时，取最大值，且 8分

②当时，

当且仅当，即时，

综合①、②知时，取最大值.

所以当年产量为9千件时，该企业生产此产品获利最大. 12分

1

题型：简答题

|

简答题

某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①；②；③．（以上三式中、均为常数，且）

（I）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)

（II）若，，求出所选函数的解析式（注：函数定义域是．其中表示8月1日，表示9月1日，…，以此类推）；

（III）在（II）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．

正确答案

（I）

（II）

（III）可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌

（1）欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数，主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=（x-1）（x-q）2+p为其成绩模拟函数．

（2）由题中条件：f（0）=4，f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式

（3）利用导数即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．

解：I）根据题意，应选模拟函数 --------------4分

（II），，,得：

所以---------------------------8分

（III），令

又,在上单调递增，在上单调递减.-------11分

所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌. -------12分

1

题型：简答题

|

简答题

将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润．

正确答案

定价为14元时，每天可获利最多为720元

解：设每件售价提高x元，利润为y元，

则y＝(2＋x)(200－20x)＝－20(x－4)2＋720.

故当x＝4，即定价为14元时，每天可获利最多为720元．

1

题型：简答题

|

简答题

（本小题满分14分）

某公司经销某产品，第天的销售价格为（为常数）（元∕件），第天的销售量为（件），且公司在第天该产品的销售收入为元．

（1）求该公司在第天该产品的销售收入是多少？

（2）这天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？

正确答案

⑴第天的销售收入为元；⑵第天该公司的销售收入最大，最大值为　元．

本试题主要是考查了分段函数在实际生活中的运用。考查了同学们分析问题和解决问题的能力。

（1）先设该公司第天的销售收入为，

由已知，第天的销售价格，销售量．

得到参数a的值，然后代入可知第天的销售收入

（2）由条件得函数为分段函数可知（）

然后分析各段函数的最值，来得到分段函数的最值问题。

（1）设该公司第天的销售收入为，

由已知，第天的销售价格，销售量．

所以第天的销售收入，所以．………………2分

第天的销售收入 (元) ． ………………………………4分

（2）由条件得（）…………7分

当时，．

（当且仅当时取等号），所以，当时取最大值，．……9分

当时，，

所以，当时，取最大值为 …………………10分

当时，．

（当且仅当时取等号），所以当时，取最大值． 12分

由于，所以第天该农户的销售收入最大．

答：⑴第天的销售收入为元；⑵第天该公司的销售收入最大，最大值为　元．……………………………………………………………………………………14分

1

题型：简答题

|

简答题

（本题满分10分）已知函数,()，若同时满足以下条件：

①在D上单调递减或单调递增

② 存在区间[]D,使在[]上的值域是[]，那么称()为闭函数。

（1）求闭函数符合条件②的区间[]；

（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间[]；若不是请说明理由；

（3）若是闭函数，求实数的取值范围.

正确答案

解：（1）在R上单减，所以区间[]满足

解得

（2）易知在上单调递增.设满足条件B的区间为，则方程组

有解，即方程至少有两个不同的解

也即方程有两个都不小于的不等根.

得，即位所求.

另解：

(1)易知函数是减函数,则有 ,解得,

(2)取特值说明即可，不是闭函数.

(3)由函数是闭函数,易知函数是增函数,则在区间上函数的值域也是,说明函数图像与直线有两个不同交点,令,则有

=,(令) ,如图

则直线若有两个交点，则有

略

1

题型：简答题

|

简答题

(本小题满分14分）

在矩形ABCD中，已知，在AB、AD、CD、CB上分别

截取AE、AH、CG、CF都等于，

（1）将四边形EFGH的面积S表示成的函数，并写出函数的定义域

（2）当为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积

正确答案

解：（1）

。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）又

若，即时，

当时，。。。。。。。。。。。。。。9分

若，即时，在上为增函数，

当时，。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

略

1

题型：填空题

|

填空题

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.

正确答案

－8

略

1

题型：填空题

|

填空题

根据市场调查，某商品在最近10天内的价格（单位：元/件）与时间t满足关系,销售量（单位：万件）与时间t满足关系，则这种商品的日销售额的最大值为（万元）。

正确答案

185

略

1

题型：简答题

|

简答题

（本小题满分13分）已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；（2）判断函数的单调性;

（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．

正确答案

解：（1）因为是奇函数，所以=0，

即………………………3

（2）由（1）知，………………………5

设，则.

因为函数y=2在R上是增函数且， ∴>0.

又>0 ，∴>0，即，

∴在上为减函数.另法：或证明f′(x)0………………………9

（3）因为是奇函数，从而不等式

等价于，………………………3

因为为减函数，由上式推得．即对一切有，

从而判别式………………………13

略

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案