集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）已知函数的定义域为R，对任意的都满足。

（I）判断的单调性和奇偶性；

（II）是否存在这样的实数m，当时，不等式

对所有恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

正确答案

（I）是奇函数，在上是增函数；

（II）存在，

（I）令

有

即为奇函数。 ………………2分

在R上任取

由题意知

则

故是增函数 ………………6分

（II）要使

只须

又由为单调增函数有

…………8分

令

原命题等价于恒成立。…………10分

当

故上为减函数，

时，原命题成立。 ………………12分

1

题型：简答题

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简答题

．已知是偶函数.

(1)求的值;

(2)证明:对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点.

正确答案

（1）；（2）同解析。

(1)解:由,得.

(2)证明:由(1)得,令,得,

假设方程有两个不等的实数根,则①,②.

两式相减得,

因为,所以,代入①或②不成立,假设错误,命题成立.

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题型：填空题

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填空题

已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足．若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中有可能成立的个数为

正确答案

3

略

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题型：填空题

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填空题

关于函数，有下列命题：

①函数的图像关于轴对称；

②当时，是增函数，当时，是减函数；

③函数的最小值是；

④当或时，为增函数；

⑤无最大值，也无最小值。

其中正确命题的序号是

正确答案

_①③④

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数在区间[-1，1]上至少存在一个实数c使f（c）>0，则实数p的范围．

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（14分）

某工厂统计资料显示，产品次品率与日产量（件）的关系表如下：

1

2

3

4

┅

98

┅

1

又知每生产一件正品盈利元，每生产一件次品损失元（）.

（1）将该厂日盈利额（元）表示为日产量（件）的一种函数关系式；

（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？

正确答案

（1）

（2）时取最大值，即取最大值.

（1）由题意可知日产量n 件中，正品（n-pn）件，日盈利额.

（2）

当且仅当100-n=即n=100-而，且

故时取最大值，即取最大值.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现：该产品的销售单价定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0．8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上，每增加10元，年销售量将再减少1万件．设销售单价为（元），年销售量为（万件），年获利为（万元）．

（1）请写出与之间的函数关系式；

（2）求第一年的年获利与之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损？若赢利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（＝1521）

正确答案

（1）y＝

（2）w＝．

若100≤x≤200，当x＝195时，wmax＝－78，

若200<x≤300，wmax＝－80．

解：（1）y＝．

（2）当100≤x≤200时，w＝xy－40y－（480＋1520）

将y＝－x＋28代入上式得：

w＝x（－x＋28）－40（－x＋28）－2000＝－（x－195）2－78，

当200<x≤300时，同理可得：w＝－（x－180）2－40，

故w＝．

若100≤x≤200，当x＝195时，wmax＝－78，

若200<x≤300，wmax＝－80．

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题型：填空题

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填空题

设{x}表示离x最近的整数，即若m-＜x≤m+，则{x}=m．

下面是关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域是R，值域是[0，]；②函数y=f（x）的图象关于直线x=(k∈Z)对称；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；其中正确的命题序号是______．

正确答案

①根据题意可直接得到定义域为R，值域为[0，]

②验证f（+x）=f（-x）正确性即可

当k为偶数时，为整数，∵f（+x）=|+x-{+x}|=|x-{x}|

f（-x）=|-x-{-x}|=|-x+{x}|=|x-{x}|=f（+x）

当k为奇数时，为整数

∵f（+x）=|++x-{++x}|=|+x-{+x}|=|x-{x}|

f（-x）=|+-x-{+-x}|=|-x-{-x}|=|x-{x}|=f（+x）

y=f（x）的图象关于直线x=对称．

③∵f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x-{x}}=f（x）

∴f（x）是周期函数且最小正周期是1

故答案为：①②③

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题型：填空题

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填空题

给出四个命题：

①函数是定义域到值域的映射； ②函数 f(x)=+；

③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线； ④函数 S=+．

其中，正确的有______个．

正确答案

对于①，函数是对于定义域中的每一个值，值域中都有唯一的函数值与之对应，所以函数是定义域到值域的映射

故①正确

对于②，要使f（x）有意义，需无解，故f（x）不是函数，故②不正确．

对于③，函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线上的一些孤立的点，故③错

对于④，要使f（x）有意义，需解得x=3，故S是定义域为{3}的函数，故④正确．

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

已知f（x）是定义域在R上的函数，且有下列三个性质：

①函数图象的对称轴是x=1；

②在（-∞，0）上是减函数；

③有最小值是-3；

请写出上述三个条件都满足的一个函数 ______．

正确答案

根据题目的条件可知二次函数满足三个性质

∵在（-∞，0）上是减函数

∴二次函数的图象开口向上

又对称轴为x=1

故设二次函数的解析式为y=（x-1）2+m

又∵有最小值是-3

∴m=-3，故答案为y=（x-1）2-3

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题型：填空题

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填空题

若不等式的解集为空集，则实数m的取值范围是 .

正确答案

试题分析：设，∴，

不等式的解集为空集，

∴.

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题型：填空题

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填空题

若的图像是中心对称图形,则_______.

正确答案

试题分析：，

因为为偶函数，所以当且仅当，即时，为奇函数，图像关于原点对称．

另解：

①若，则，图像不具有中心对称性；

②若，则．

若图像中心对称，则对称中心必为．

从而，对任意，恒成立，

即恒成立，

所以，无解；

③若，则．

若图像中心对称，则对称中心必为．

从而，对任意，恒成立，

即恒成立，

所以，故．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计.

（1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？

（2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注:）

正确答案

（1）；（2）；

试题分析：（1）本小题主要通过题中给出图形与数据求得瓶内液体的体积（两个圆柱体的体积和），再计算滴球状液体的体积，然后利用二者相等，求得；

（2）本小题任然根据滴管内匀速滴下球状液体体积等于瓶内液体下降的体积，只是需要注意瓶内液体应区分两个圆柱体体积的不同，所以所得为分段函数。

试题解析：（1）设每分钟滴下（）滴， 1分

则瓶内液体的体积 3分

滴球状液体的体积 5分

所以，解得，故每分钟应滴下滴。 6分

（2）由（1）知，每分钟滴下药液 7分

当时，，即，此时 10分

当时，，即，此时 13分

综上可得 14分

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题型：简答题

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简答题

已知函数是定义在上的奇函数，当时的解析式为.

（Ⅰ）求函数的解析式;

（Ⅱ）求函数的零点.

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）零点为

试题分析：（Ⅰ）先利用奇函数的性质求时的解析式，再求时的解析式，最后写出解析式.

本小题的关键点：（1）如何借助于奇函数的性质求时的解析式；（2）不能漏掉时的解析式.

（Ⅱ）首先利用求零点的方法：即f（x）=0，然后解方程，同时注意限制范围.

试题解析：（Ⅰ）依题意，函数是奇函数，且当时，，

当时，， 2分

又的定义域为，当时， 2分

综上可得， 2分

（Ⅱ）当时，令，即，解得，(舍去) 2分

当时，， 1分

当时，令，即，解得，(舍去) 2分

综上可得，函数的零点为 1分

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题型：简答题

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简答题

已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产千件，须另投入2 7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且

（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）

正确答案

（1）；（2）当x=9千件时，W取最大值38 6万元

试题分析：（1）本小题主要利用利润等于销售收入减去成本，再求解的时候注意分段函数的使用；（2）本小题主要利用分段函数分开求最值，针对三次函数用导数分析单调性，然后求最值；对于分式结构可以考虑用基本不等式求最值

试题解析：（1）当

当

7分

（2）①当

当 12分

②当x>10时

当且仅当

由①②知，当x=9千件时，W取最大值38 6万元 16分

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