集合与函数的概念_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

某市的出租车的价格规定：起步费11元，可行3千米；3千米后按每千米2.1元计价,可再行7千米;以后每千米都按3.15元计价,设每一次乘车的车费由行车里程确定.

(1)请写出一次乘车的车费y元与行车的里程x千米的函数关系;

(2)计算如果一次乘车费为32元,那么汽车行程为多少千米?

(3)请问当行程为28千米时,请你设计一种乘车方案,使总费用最省.

正确答案

（1）（2）千米（3）当行程为28千米时，两次分别行程10千米时下车，重新上车计费，其费用为72.9元。

（1）（4分）

（2）=32，千米（6分）

（3）当行程为3千米时，平均每千米为11/3元，显然当行程为10千米时，费用最省，即行程10千米时下车，重新上车计费，故当行程为28千米时，两次分别行程10千米时下车，重新上车计费，其费用为72.9元。

1

题型：填空题

|

填空题

已知映射f：A→B中A=B=R，f：x→x1，与B中的元素右相对应的A中的元素是______．

正确答案

令 x2=4，解得x=±2，根据映射的定义，与B中的元素4相对应的A中的元素是±2，

故答案为±2．

1

题型：填空题

|

填空题

具有性质：＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①y＝x－；②y＝x＋；③y＝，其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．

正确答案

①③

对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；

对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；

对于③，f＝

即f＝

故f＝－f(x)，满足．

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.

1

题型：简答题

|

简答题

设计一种正四棱柱形冰箱，它有一个冷冻室和一个冷藏室，冷藏室用两层隔板分为三个抽屉，问：如何设计它的外形尺寸，能使得冰箱体积为定值时，它的表面和三层隔板（包括冷冻室的底层）面积之和S值最小（参考数据：，，）

正确答案

冰箱底面正方形边长为，高度为时，它的表面和三层隔板（包括冷冻室的底层）面积之和S值最小

设水箱的底面边长为，则高为，

法1：，由，

∴函数S在上递减，在上递增，∴时，S有最小值，此时

法2：（当且仅当即时，取等号）∴时，S有最小值，此时

答：冰箱底面正方形边长为，高度为时，它的表面和三层隔板（包括冷冻室的底层）面积之和S值最小．……………………………………………………13分

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在（0，）上减函数，在是增函数。

（1）如果函数的值域为，求的值；

（2）研究函数（常数）在定义域的单调性，并说明理由；

（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数

（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。

正确答案

（1）（2）函数在上是减函数，在

是增函数

（3）当或时，取得最大值当x=1时取得最小值

（1）函数的最小值是，则=6，（2分）

（2）设

当时，，函数在是增函数；（4分）

当时，，函数在是减函数（5分）

又是偶函数，于是，该函数在上是减函数，在

是增函数

（3）可以把函数推广为（常数），其中a是正整数。（7分）

当n是奇数时，函数在是减函数，在是增函数，在上是增函数，在上是减函数；（9分）

当n是奇数时，函数在是减函数，在是增函数，在上是减函数，在上是增函数；工协作（11分）

因此在上减函数，在[1，2]上是增函数。

反以，当或时，取得最大值当x=1时取得最小值。

1

题型：填空题

|

填空题

设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：对任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b），则称映射f具有性质P．现给出如下映射：

①f1：V→R，f1（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V；

②f2：V→R，f2（m）=x-y，m=（x，y）∈V；

③f3：V→R，f3（m）=x2+y，m=（x，y）∈V．

其中，具有性质P的映射的序号为______．（写出所有具有性质P的映射的序号）

正确答案

设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则λ a+（1-λ） b=（λx1+（1-λ）x2，λy1+（1-λ）y2），

对于①，f[λa+（1-λ）b]=λx1+（1-λ）x2+λy1+（1-λ）y2+1=λ（x1+y1）+（1-λ）（x2+y2）+1

而λf（ a）+（1-λ）f（ b）=λ（x1+y1+1）+（1-λ）（x2+y2+1）═λ（x1+y1）+（1-λ）（x2+y2）+1，

f1满足性质p；

对于②，f[λ a+（1-λ） b]=λx1+（1-λ）x2-λy1-（1-λ）y2=λ（x1-y1）+（1-λ）（x2-y2）

而λf（ a）+（1-λ）f（ b）=λ（x1-y1）+（1-λ）（x2-y2），f2满足性质P

对于③，f2（λa+（1-λb））=[λx1+（1-λ）x2]2+[λy1+（1-λ）y2]，λf2（a）+（1-λ）f2（b）=λ（x12+y1）+（1-λ）（x22+y2）

∴f2（λa+（1-λb））≠λf2（a）+（1-λ）f2（b），∴映射f3不具备性质P．

故答案为：①②

1

题型：填空题

|

填空题

设f（x）=ax-b，其中a，b为实数，f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n=1，2，3，…，若f7（x）=128x+381，则a+b=______．

正确答案

由f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n=1，2，3，…，

又∵f7（x）=128x+381

∴a7x-（a6+a5+…+1）b=128x+381

∴a7=128且-（a6+a5+…+1）b=381

∴a=2，b=-3

∴a+b=-1

故答案是：-1

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数（其中是实数常数，）

（1）若，函数的图像关于点（—1，3）成中心对称，求的值；

（2）若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；

（3）若b=0，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围．

正确答案

（1）；（2）；（3）.

试题分析：(1)由于，，这种类型的函数我们易联想到函数的平移变换，如向右平移个单位，再向上平移个单位，得函数的图象，且函数的图象的对称中心就是，因此我们只要把转化为的形式，即，就能得出结论；（2）由(1)知，，问题是当时，函数的值域，可分类讨论，当时，，而当时，函数具有单调性，由此可很快求出函数的最值，求出的取值范围；（3）由于，中还有三个参数，正好题中有三个条件，我们可先求出，然后才能把不等式化为，由于，因此此分式不等式可以两边同乘以直接去分母化为整式不等式，，从而可以分离参数得，也即，下面我们只要求出的最小值即可.

试题解析：(1)，

．

类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是．

又函数的图像的对称中心是，

(2)由(1)知，．

依据题意，对任意，恒有．

若，则，符合题意．

若，当时，对任意，恒有，不符合题意．

所以，函数在上是单调递减函数，且满足．

因此，当且仅当，即时符合题意．

综上，所求实数的范围是．

(3)依据题设，有解得

于是，．

由，解得．

因此，．

考察函数，可知该函数在是增函数，故．

所以，所求负实数的取值范围是．

1

题型：填空题

|

填空题

已知函数，若，则．

正确答案

试题分析：因为，所以，所以

1

题型：简答题

|

简答题

如图所示，是一个矩形花坛，其中AB=4米，AD=3米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B在上，D在上，对角线过C点，且矩形的面积小于64平方米．

（Ⅰ）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；

（Ⅱ）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积．

正确答案

（1）88 （2）307050元

试题分析：（1）要想求出矩形的面积需要求出AM长，由△NDC∽△NAM可以求出AM的长（2）由第一问可以知道s关于x的函数，令就可以将s转化为基本不等式求解.

试题解析：（Ⅰ）由△NDC∽△NAM，可得，

∴，即，故，

由且，解得，

故所求函数的解析式为，定义域为． 6分

（Ⅱ）令，则由，可得，

故，

当且仅当，即时，即当时，取最小值48．

故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为平方米. 12分

1

题型：简答题

|

简答题

若1＜x＜3，a为何值时，x2—5x+3+a=0有两解、一解、无解？

正确答案

解：∵

∴ ……1分

设，直线l ： ……3分

如图的图象： ……5分

∴ …7分

…9分

……11分

综上，当时，原方程有两解；当时，原方程有无解；

当，原方程有一解； ……12分

略

1

题型：填空题

|

填空题

下列说法正确的为 .

①集合A= ，B={}，若BA，则-3a3；

②函数与直线x=l的交点个数为0或l；

③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；

④，+∞）时，函数的值域为R；

⑤与函数关于点（1，-1）对称的函数为（2 -x）.

正确答案

②③⑤

略

1

题型：简答题

|

简答题

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x.

（Ⅰ）若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.

正确答案

解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－ x2 +x，

所以f(f(2)－ 22+2)=f(2)－22+2.

又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1.

若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a.

（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x))－x2 +x)=f(x)－x2 +x.

又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xεR，有f(x)－x2 +x= x0.

在上式中令x= x0,有f(x0)－x + x0= x0,

又因为f(x0)－ x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1.

若x0=0，则f(x)－ x2 +x=0，即f(x)= x2－x.

但方程x2－x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.

若x2=1,则有f(x)－x2 +x=1，即f(x)= x2－x+1.易验证该函数满足题设条件.

综上，所求函数为f(x)= x2－x+1（xR）

略

1

题型：填空题

|

填空题

已知，则的最小值为__________．

正确答案

略

1

题型：简答题

|

简答题

(本小题满分14分)

已知函数的极值点为和．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）试讨论方程根的个数；

（Ⅲ）设，斜率为的直线与曲线交于

两点，试比较与的大小，并给予证明．

正确答案

解：（Ⅰ），，……………… 1分

由的极值点为和，

∴的根为和，

∴解得 ……………………3分

（Ⅱ）由得，

，设， .

， ………………5分

当变化时，与的变化情况如下表：

由此得，函数的单调减区间为，单调增区间为.…6分

∴，

且当正向趋近于0时，趋近于，

当趋近于时，趋近于. ………………7分

∴当时，方程只有一解；

当时，方程有两解；

当时，方程无解. ………………9分

（Ⅲ）. ……………10分

证明：由（Ⅰ）得，

∴，.

要证，即证，

只需证，（因为）

即证．只需证．（*）…………………12分

设，

，

∴在单调递增，，

∴不等式（*）成立.

∴． ………………… 14分

略

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案