热门试卷

m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}

∵f(0)=1>0

(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意。

(2）当m>0时，则解得0＜m≤1

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}。

见解析

解：（1）依题意知，汽车从甲地语速行驶到乙地所用时间为，全程的运输成本为：

………………………………..………………..….4分

所求函数的定义域为……………………………………………….……………....….5分

（2）  令………………….……………..….7分

当，在上递减，………….………………………….…..9分

当，………….……………………..…………………. .10分

当当，在上递减；当，，在上递增………….………………………………………………………. 12分

所当，………………………………………….………. 13分

为使全程运输成本最小，当汽车行驶速度为c，最小运输成本是；当汽车行驶速度为，最小运输成本是；

（1）（ ），（2）月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．（3）月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.

试题分析：（1）由待定系数法设出将x=10，y=20代入可得．（2）利润＝收入－成本，设利润为可得化为二次函数求最值即可．（3）平均成本＝可化为利用基本不等式求最小值．

试题解析：解：（1） （）     2分

将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得   3分

 （ ）     4分

（2）设利润为则  6分

因为，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元8分

（3）  10分

当且仅当，即时上式“=”成立. 11分

故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.  12分

(1) 略．

(2)

解：（Ⅰ）当时，，其定义域是………1分

∴                  ………………………2分  

令，即，解得或．

，∴ 舍去．                         …………………3分

当时，；当时，．

∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．

当时，，即．

∴ 函数只有一个零点．                      ………………………6分 

（Ⅱ）显然函数的定义域为

∴ ……………7分

①当时，在区间

上为增函数，不合题意………9分

②当时，等价于，即

此时的单调递减区间为．

依题意，得解之得．                    …………………9分

当时，等价于，即

此时的单调递减区间为，

∴    得            ………………………11分

综上，实数的取值范围是

         ………………………12分

法二：

①当时，

在区间上为增函数，不合题意……………7分

②当时，要使函数在区间上是减函数，

只需在区间上恒成立，只要恒成立，

解得或                  ………………………11分

综上，实数的取值范围是

        ………………………12分

（1）    （2） 

（1）由

得

解得：

     3分

，

的值域为    6分

（2）由，

又，

所以是周期为4的奇函数，

当时，，

时，

于是，当         9分

当时，

故      11分

所以   13分

详见解析

解法一：(Ⅰ)设D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD为菱形

          且AC、BD的交点在y轴上，

　　　∴B、C两点坐标为(-x，0)、(-a，y)．

由AC⊥BD得

·＝（2x，y）·(2a，-y)

＝4ax - y2=0，

即　y2 = 4ax.

注意到ABCD为菱形，∴x≠0

故轨迹E的方程为y2 = 4ax（x≠0）.

(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°．

证明如下：

(1)当PQ⊥x轴时，P、Q点的坐标为(a，±2a)，又R(一a，0)，

此时∠PRQ=90°，结论成立；

(2)当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k(x一a)，

由得　k2x2 - (2ak2+4a)x + k2a2 = 0

　　　　　　记P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝2a+，x1 x2=a2.

　　　　　　　·＝（x1+a）（x2+a）+y1y2

=（x1+a）（x2+a）+k2（x1- a）（x2- a）

=(1+k2) x1 x2+(a - ak2)( x1+x2)+a2+a2k2

=(1+k2) a2 +(a - ak2)( 2a+)+a2+a2k2=>0

即<,>为锐角，

综上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立．

解法二：(Ⅰ)设D(x，y)，由ABCD为菱形且AC、BD的交点在y轴上，

∴C点坐标为(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得

，

　　　　　化简得y2=4ax．

　　　　　注意到ABCD为菱形，∴x≠O，

　　　　　故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O)．

(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°

　　　　证明如下：

　　　　　　设P（x1，y1），Q（x2，y2），同证法一易知，则x1 x2=a2.又y12=4ax1，y22=4ax2，且｜PR｜2＝x1+x2+2a ，因为

　　　　　　｜PR｜2+｜QR｜2-｜PQ｜2＝（x1+a）2+y12+（x2+a）2+y22-( x1+x2+2a)2

=2ax1+2ax2-4a2≥2-4a2=4a-4a2=0

　　　　　　从而　cos∠PRQ=≥0，

即∠PRQ≤90°

解法三：(Ⅰ)因为ABCD为菱形，且AC与BD的交点在y轴上，

所以点C的横坐标为 -a，

即点C在直线x = -a上，从而D到C的距离等于D到直线x = -a的距   离．又ABCD为菱形，所以点D到点A的距离与点D到直线x = -a的距离   相等，即轨迹E为抛物线，方程为y2=4ax．

注意到ABCD为菱形，∴x≠O，

故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O)．

(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°

证明如下：

如图，过P、Q向x轴及准线x = -a引垂线，记垂足为M、N、C、H，

则|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，所以∠PRM≤45°，

同理可证∠QRN≤45°，从而∠PRQ≤90°

解法四：(Ⅰ)同解法一．

(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°

证明如下：

设P（x1，y1），则y12=4ax1，tan∠PRM=|kPR|=||=，

∵x1+a≥2，∴tan∠PRA≤1，∠QRA≤45°，

同理可证∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°

50%

试题分析：根据销售总金额等于每吨价格与销售量的乘积，列函数关系式.当价格上涨x%时，销售总金额为,这是一个关于x%的二次函数，其定义域为对称轴为时，销售总金额取最大值.

试题解析：由题设，当价格上涨x%时，销售总金额为y,则

（万元）

即

当x=50时，万元.

即该产品每吨的价格上涨50%时，销售总金额最大.

（1）f(x)=x2-x+1，（2）

试题分析：（1）求二次函数解析式，一般方法为待定系数法.二次函数解析式有三种设法，本题设一般式f(x)=ax2+bx+1，再利用等式恒成立，求出项的系数.由a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x得2ax+a+b=2x，所以.（2）恒成立问题一般转化为最值问题.先构造不等式，再变量分离，这样就转化为求函数的最小值问题.

试题解析：（1）设f(x)=ax2+bx+1

a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x

2ax+a+b=2x

f(x)=x2-x+1

（2）

考点:二次函数解析式，二次函数最值，不等式恒成立

(1)；(2) 解集为；(3) ．

试题分析：(1)两个函数的图象关于某点或某条直线对称，一般设待求解析式的函数图象上任一点的坐标为，求出这点的对称点的坐标，当然这里是用表示的式子，然后把点代入已知解析式，就能求出结论；(2)这是含有绝对值的不等式，解题时，一般按照绝对值的定义分类讨论以去掉绝对值符号，便于解题；(3) ，这是含参数的二次函数，解题时，首先对二次项系数分类，即分二次项系数为0，不为0，其中不为0还要分为是正数，还是负数进行讨论，在二次项系数不为0时，只要讨论其对称轴与给定区间的关系就能求得结论．

试题解析：（1）设是函数图像上任一点，则关于原点对称的点在函数的图像上，          （1分）

所以，故．    （2分）

所以，函数的解析式是．    （1分）

（2）由，得，   （1分）

即．     （1分）

当时，有，△，不等式无解；   （1分）

当时，有，，解得． （2分）

综上，不等式的解集为．      （1分）

（3）． （1分）

①当时，在区间上是增函数，符合题意．   （1分）

②当时，函数图像的对称轴是直线．   （1分）

因为在区间上是增函数，所以，

1）当时，，函数图像开口向上，故，

解得；                （1分）

2）当时，，函数图像开口向下，故，解得． （1分）

综上，的取值范围是．     （1分）

（1）见解析（2）

试题分析：（1）隐函数的问题，关键是对所给的字母进行适当的赋值发现一些隐藏的性质.本题的要挖掘出来.因为解析式不知道，所以要根据增函数的定义证明.（2）由（1）函数递增，再求函数值3所对的自变量，得出两个自变量间的关系.从而得解.

试题解析： （1）证明：，令，，再令，，即.对任意设，，，又由可得，，，，即.又因为，所以在R上是增函数.

（2）由令，，，所以f(3m-4)<3可化为f(3m-4).