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题型:填空题
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填空题

已知数列满足,且是函数的两个零点,则等于 ______。

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)已知函数处有极值。

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)若函数在[-3,3]上有且仅有一个零点,求的取值范围。

正确答案

(1)的单调递增区间是

单调递减区间是(-2,0)

(2)

解:(Ⅰ)

由题意知:…………2分

的单调递增区间是

单调递减区间是(-2,0)…………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

为函数极大值,为极小值…………7分

函数在区间[-3,3]上有且公有一个零点,

…………10分

,即的取值范围是…………12分

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分) 已知函数满足

(1)求常数的值;   (2)解不等式

正确答案

(1)

(2)

解:(1)因为,所以;由,即

(2)由(1)得

得,

时,解得

时,解得

所以的解集为

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题型:填空题
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填空题

很难想象城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样。若污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次,能过滤出有害物质的,若过滤次后,流出的水中有害物质在原来的以下,则的最小值为____________________(参考数据).

正确答案

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解:设原有有害物质为,则过滤次后有害物质还有 ,令,所以,所以的最小值为

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题型:简答题
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简答题

(本题满分12)

定义在R上的函数满足,当2≤x≤6时,

(1)求m ,n的值;

(2)比较的大小

正确答案

(1)m =4,n=30

(2)f(log3 m)3 n)

解:  (1)∵f(x)在R上满足f (x+4)="f" (x),∴4是f(x)的一个周期.∴f (2)=" f" (6)…(2分)

+n=  ①,

又∵f (4)=31,∴+n="31 " ② ……………(4分)

联解①、②组成的方程组,得m =4,n=30…………………(6分).

(2)由(1)知,f(x)=+30,x∈.

∵1< , ∴5<.∴f(log3 m)= f(log3 4)=f(

==……………………………(8分)

又∵3<,∴f(log3 n)= f(log3 30)=

==…………………(10分)

,∴

+30,∴f(log3 m)3 n)………(12分).

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)

某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2005年度进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件。已知2005年生产化妆品的设备折旧和维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为:其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的化妆品正好能销完.

⑴将2005年的利润y(万元)表示为促销费(万元)的函数;

⑵该企业2005年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?

(注:利润=销售收入—生产成本—促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

正确答案

(t≥0)

⑵7万元

(1)由题意: , 将 

当年生产x(万件)时,年生产成本=年生产费用+固定费用=32x+3=32(3-)+3,

当销售x(万件)时,年销售收入=150%[32(3-+3]+

由题意,生产x万件化妆品正好销完∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费

(t≥0)            

(2)∵≤50-=42万件,当且仅当t=7时,ymax=42;∴当促销费定在7万元时,利润最大.      

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题型:填空题
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填空题

规定一种运算:,例如:12=1,32=2,则函数的值域为                .

正确答案

为a、b的最小值. 故可得为图象的实线曲线. 故当时,

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题型:填空题
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填空题

,函数,若对任意的,都有成立,则实数的取值范围为

正确答案

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题型:填空题
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填空题

将边长为1m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值是____       ____

正确答案

设剪成的小正三角形的边长为,则:

(方法一)利用导数求函数最小值。

时,递减;当时,递增;

故当时,S的最小值是

(方法二)利用函数的方法求最小值。

,则:

故当时,S的最小值是

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题型:简答题
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简答题

已知函数

(1)试判断上的单调性;

(2)当时,求证:函数的值域的长度大于(闭区间[mn]的长度定义为nm).

正确答案

(1)函数上为增函数.(2)同解析。

(1)∵

∴函数上为增函数.

(2)由(1)知

,      ∴(﹡)

,  ∵,  ∴

∴由(﹡)式得,即为

∵函数的值域为

∴函数的值域的长度为

∴函数的值域的长度大于

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题型:填空题
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填空题

已知定义在上的偶函数满足对于恒成立,且,则 ________

正确答案

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欲求,应该寻找的一个起点值,发现的周期性

得到,从而得,可见是以4为周期的函数,从而

又由已知等式得

又由上的偶函数得

又在已知等式中令,即

所以

近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点,解决问题的关键是发现函数的周期性(奇偶性)。

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题型:填空题
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填空题

已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且φ()=16,φ(1)=8,则φ(x)的表达式为______

正确答案

设f(x)=mx(m是非零常数),

g(x)=(n是非零常数),∴φ(x)=mx+

由φ()=16,φ(1)=8得,解得

故φ(x)=3x+. x≠0.

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题型:填空题
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填空题

已知(x,y)在映射f的作用下的象为(x+y,xy),若在f作用下的象是(2,-3),则它的原象为______.

正确答案

设它的原象为(x,y),则它在映射f的作用下的象为(x+y,xy),即

解得

所以它的原象为:(-1,3)或(3,-1)

故答案为:(-1,3)或(3,-1)

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题型:简答题
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简答题

某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台. 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表:

家电名称

空调器

彩电

冰箱

工时

产值(千元)

4

3

2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)

正确答案

每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元.

设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台,由题意得: 

x+y+z="360                                               "   ①          

                                 ②

x>0,y>0,z≥60.                                         ③

假定每周总产值为S千元,则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函数S的最大值,由①②消去z,得

y=360-3x.                      ④

将④代入①得: x+(360-3x)+z=360,∴z=2x   ⑤

z≥60,∴x≥30.                                               ⑥

再将④⑤代入S中,得S=4x+3(360-3x)+2·2x,即S=-x+1080. 

由条件⑥及上式知,当x=30时,产值S最大,最大值为

S=-30+1080=1050(千元).

x=30分别代入④和⑤得y=360-90=270,z=2×30=60.

∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元.

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题型:填空题
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填空题

为了拉动内需,改善民生,从2009年2月1日起我国全面启动“家电下乡”活动,对农民新购家电(一件)实施补贴:按照产品最终销售价格的13%给予补贴.一农民到一指定点销售网点购买彩电,恰好该店搞促销活动,所有家电都是x(7£x<10)折销售(几折就是十分之几),该农民要买的彩电原价是2000元,则他买到该种彩电实际花费y元,y关于x的函数关系式为______________.若是九点五折销售,则他实际花钱_________元.

正确答案

;1653.

打折后售价为(元),补贴(元),所以实际花钱元,所以函数关系式为;若是九点五折,实际花钱(元).

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