- 集合与函数的概念
- 共44150题
已知数列、
满足
,且
、
是函数
的两个零点,则
等于 ______。
正确答案
64
略
(本小题满分12分)已知函数在
处有极值。
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在[-3,3]上有且仅有一个零点,求
的取值范围。
正确答案
(1)的单调递增区间是
单调递减区间是(-2,0)
(2)
解:(Ⅰ)
由题意知:…………2分
令
令
的单调递增区间是
单调递减区间是(-2,0)…………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
为函数极大值,
为极小值…………7分
函数
在区间[-3,3]上有且公有一个零点,
即…………10分
,即
的取值范围是
…………12分
(本小题满分12分) 已知函数满足
.
(1)求常数的值; (2)解不等式
.
正确答案
(1)
(2)
解:(1)因为,所以
;由
,即
,
.
(2)由(1)得
由得,
当时,解得
,
当时,解得
,
所以的解集为
.
很难想象城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样。若污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次,能过滤出有害物质的,若过滤
次后,流出的水中有害物质在原来的
以下,则
的最小值为____________________(参考数据
).
正确答案
4
解:设原有有害物质为,则过滤
次后有害物质还有
,令
,所以
,
,所以
的最小值为
(本题满分12)
定义在R上的函数满足
,当2≤x≤6时,
。
(1)求m ,n的值;
(2)比较与
的大小
正确答案
(1)m =4,n=30
(2)f(log3 m)
解: (1)∵f(x)在R上满足f (x+4)="f" (x),∴4是f(x)的一个周期.∴f (2)=" f" (6)…(2分)
∴+n=
①,
又∵f (4)=31,∴+n="31 " ② ……………(4分)
联解①、②组成的方程组,得m =4,n=30…………………(6分).
(2)由(1)知,f(x)=+30,x∈
.
∵1< , ∴5<
.∴f(log3 m)= f(log3 4)=f(
)
==
……………………………(8分)
又∵3<,∴f(log3 n)= f(log3 30)=
==
…………………(10分)
∵,∴
∴+30,∴f(log3 m)
(本小题满分14分)
某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2005年度进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件。已知2005年生产化妆品的设备折旧和维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为:其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
⑴将2005年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数;
⑵该企业2005年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
(注:利润=销售收入—生产成本—促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
正确答案
⑴(t≥0)
⑵7万元
(1)由题意: , 将
当年生产x(万件)时,年生产成本=年生产费用+固定费用=32x+3=32(3-)+3,
当销售x(万件)时,年销售收入=150%[32(3-+3]+
由题意,生产x万件化妆品正好销完∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费
即(t≥0)
(2)∵≤50-
=42万件,当且仅当
即t=7时,ymax=42;∴当促销费定在7万元时,利润最大.
规定一种运算:,例如:1
2=1,3
2=2,则函数
的值域为 .
正确答案
为a、b的最小值. 故可得
为图象的实线曲线. 故当
时,
设,函数
,若对任意的
,都有
成立,则实数
的取值范围为
正确答案
略
将边长为1m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值是____ ____
正确答案
设剪成的小正三角形的边长为,则:
(方法一)利用导数求函数最小值。
,
,
当时,
递减;当
时,
递增;
故当时,S的最小值是
。
(方法二)利用函数的方法求最小值。
令,则:
故当时,S的最小值是
。
已知函数.
(1)试判断在
上的单调性;
(2)当时,求证:函数
的值域的长度大于
(闭区间[m,n]的长度定义为n-m).
正确答案
(1)函数在
上为增函数.(2)同解析。
(1)∵,
∴,
∴时
,
时
;
∴函数在
上为增函数.
(2)由(1)知;
即, ∴
(﹡)
令, ∵
, ∴
,
∴由(﹡)式得,即为
;
∵函数的值域为
,
∴函数的值域的长度为
,
∴函数的值域的长度大于
已知定义在上的偶函数
满足
对于
恒成立,且
,则
________
正确答案
1
欲求,应该寻找
的一个起点值,发现
的周期性
由得到
,从而得
,可见
是以4为周期的函数,从而
,
又由已知等式得
又由是
上的偶函数得
又在已知等式中令得
,即
所以
近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点,解决问题的关键是发现函数的周期性(奇偶性)。
已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且φ()=16,φ(1)=8,则φ(x)的表达式为______
正确答案
设f(x)=mx(m是非零常数),
g(x)=(n是非零常数),∴φ(x)=mx+
,
由φ()=16,φ(1)=8得
,解得
.
故φ(x)=3x+. x≠0.
已知(x,y)在映射f的作用下的象为(x+y,xy),若在f作用下的象是(2,-3),则它的原象为______.
正确答案
设它的原象为(x,y),则它在映射f的作用下的象为(x+y,xy),即
解得 或
所以它的原象为:(-1,3)或(3,-1)
故答案为:(-1,3)或(3,-1)
某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台. 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表:
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时
产值(千元)
4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)
正确答案
每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元.
设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台,由题意得:
x+y+z="360 " ①
②
x>0,y>0,z≥60. ③
假定每周总产值为S千元,则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函数S的最大值,由①②消去z,得
y=360-3x. ④
将④代入①得: x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30. ⑥
再将④⑤代入S中,得S=4x+3(360-3x)+2·2x,即S=-x+1080.
由条件⑥及上式知,当x=30时,产值S最大,最大值为
S=-30+1080=1050(千元).
得x=30分别代入④和⑤得y=360-90=270,z=2×30=60.
∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元.
为了拉动内需,改善民生,从2009年2月1日起我国全面启动“家电下乡”活动,对农民新购家电(一件)实施补贴:按照产品最终销售价格的13%给予补贴.一农民到一指定点销售网点购买彩电,恰好该店搞促销活动,所有家电都是x(7£x<10)折销售(几折就是十分之几),该农民要买的彩电原价是2000元,则他买到该种彩电实际花费y元,y关于x的函数关系式为______________.若是九点五折销售,则他实际花钱_________元.
正确答案
;1653.
打折后售价为(元),补贴
(元),所以实际花钱
元,所以函数关系式为
;若是九点五折,实际花钱
(元).
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