集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本小题12分）

已知函数的图象过点，且方向向量.

若不等式的解集为，且.

（1）求的取值范围；（2）解关于的不等式.

正确答案

（1）

（2）当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为

（1）因直线的方向向量，∴，由点斜式可得直线：

， ∴.

由，得，∴，

又，∴，

故的取值范围是. （6分）

（2）由，

得 .

①当时，； ②当时，或；

③当时，且；④当时，或；

综上，当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为. （12分）

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题型：简答题

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简答题

（14分）设两实根为。

（1）求a的取值范围；（2）求证: 都小于-1

（3）若，求a的最小值。

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）若恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若，证明：

正确答案

（1）实数a的取值范围≤1；（2）同解析；

（1）解法一：由

上恒成立.

令

在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，

解法二：令

由当

上为增函数，在（0，）上为减函数，

要使在上恒成立，

即使恒成立，

由（II）令

，

当时，

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题型：填空题

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填空题

下列几个命题：

①函数y=+是偶函数，但不是奇函数．

②函数f（x）的定义域为[-2，4]，则函数f（3x-4）的定义域是[-10，8]．

③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]．

④设函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（x+1）则它的图象关于y轴对称．

⑤一条曲线y=|3-x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．

其中正确的有 ______．

正确答案

函数y=+=0，既是偶函数，又是奇函数．故①不正确；

函数f（x）的定义域为[-2，4]，则函数f（3x-4）的定义域是，]．故②不正确；

函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-2，2]．故③不正确；

设函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（x+1）则它的图象关于x=1对称．故④不正确；

一条曲线y=|3-x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．故⑤正确．

故答案为：⑤．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）计算下列各式的值

⑴ ;

⑵ .

正确答案

（1）

（2）原式=

解（1）原式＝

=

（2）原式＝

＝

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题型：简答题

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简答题

（本题8分）已知函数

（1）求的定义域；

（2）证明函数在上是减函数.

正确答案

（1）函数的定义域为

（2）略

略

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题型：简答题

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简答题

已知二次函数同时满足：①不等式≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立，设数列｛｝的前项和．

（1）求函数的表达式；

(2) 设各项均不为0的数列｛｝中，所有满足的整数的个数称为这个数列｛｝的变号数，令（）,求数列｛｝的变号数；　

（3）设数列｛｝满足：，试探究数列｛｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．

正确答案

（1） (2) ３

（１）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素

∴　解得或----------2分

当时函数在递增，不满足条件②

当时函数在（０，２）上递减，满足条件②

综上得，即----------4分

（２）由（１）知

当时，，当≥２时＝＝

∴-------6分由题设可得----7分

∵，，∴，都满足

∵当≥３时，

即当≥３时，数列｛｝递增，∵，由，可知满足∴数列｛｝的变号数为３。-----9分

（３）∵＝,　由（２）可得：

--------------11分

＝＝-------13分

∵当时数列｛｝递增，∴当时，最小, 又∵，

∴数列｛｝存在最小项------14分

〔或∵＝,由（２）可得：

-----11分

＝

对于函数　∵

∴函数在上为增函数，∴当时数列｛｝递增，

∴当时，最小，---13分

又∵，　∴数列｛｝存在最小项---------14分〕

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题型：填空题

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填空题

已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①M={}；

②M={}；

③M={}；

④M={}．

其中是“垂直对点集”的序号是；

正确答案

②④

试题分析：对于①是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足“垂直对点集”的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．

对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；

对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以集合M不是“垂直对点集”．

对于④M={（x，y）|y=ex-2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，-1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．

所以②④正确．

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题型：填空题

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填空题

设＝ .

正确答案

试题分析：因为所以

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题型：简答题

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简答题

（12分）定义运算若函数.

(1)求的解析式；

(2)画出的图像，并指出单调区间、值域以及奇偶性．

正确答案

(1);(2) 在上单调递增, 在上单调递减;值域为

试题分析：(1)根据表示取a与b中较小的可知只需比较与的大小关系即可得到结论．(2)由分段函数与指数函数性质画出图像,由图像可得出单调区间、值域以及奇偶性.

试题解析：

(1)由,知

(2)的图像如图:

在上单调递增, 在上单调递减

值域为

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题型：填空题

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填空题

已知,若存在,使得,则的取值范围是______．

正确答案

试题分析：存在,使得等价于，根据基本不等式得，，当时，取等号，即；，所以在是减函数，在是增函数，，而，，令，，所以在定义域上是增函数，所以有，所以，即，易知，，由得，所以的取值范围是.

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题型：简答题

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简答题

已知函数（是不为零的实数，为自然对数的底数）.

（1）若曲线与有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；

（2）若函数在区间内单调递减，求此时k的取值范围.

正确答案

（1）．

（2）当时，函数在区间内单调递减.

试题分析：（1）设曲线与有共同切线的公共点为，

则． 1分

又曲线与在点处有共同切线，

且，， 2分

∴， 3分

解得． 4分

（2）由得函数，

所以 5分

． 6分

又由区间知，，解得，或． 7分

①当时，由，得，即函数的单调减区间为， 8分

要使得函数在区间内单调递减，

则有 9分

解得． 10分

②当时，由，得，或，即函数的单调减区间为和， 11分

要使得函数在区间内单调递减，

则有，或， 12分

这两个不等式组均无解. 13分

综上，当时，函数在区间内单调递减. 14分

点评：难题，本题属于导数内容中的基本问题，（1）运用“函数在某点的切线斜率，就是该点的导数值”，确定直线的斜率。通过研究导数值的正负情况，明确函数的单调区间。确定函数的最值，往往遵循“求导数，求驻点，计算极值、端点函数值，比较大小确定最值”。本题较难，主要是涉及参数K的分类讨论，不易把握。

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题型：简答题

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简答题

动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A. 设表示P点的行程，表示PA的长，求关于的函数解析式。

正确答案

本题主要考查了分段函数式的求法，背景是动点的轨迹特征不同，线段的长及三角形的面积也会随着变化，其中蕴藏着函数的思想方法．动点P各有不同位置，计算PA也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解．

解：显然当P在AB上时，PA= ；当P在BC上时，PA= ；当P在CD上时， PA= ；当P在DA上时，PA= 。

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题型：简答题

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简答题

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求每吨产品平均最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

正确答案

（1）年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；

（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。

本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴

（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．

（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．

解：（1）生产每吨产品的平均成本为

，

由于，

当且仅当时，即时等号成立。

答：年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；

（2）设年利润为，则

，

由于在上为增函数，故当

时，的最大值为1660。

答：年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。

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题型：简答题

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简答题

（本小题共10分）已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）求函数的值域.

正确答案

（1）解：只需4分

（2）解：令8分

的值域为10分

略

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