集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分14分)

已知常数a为正实数，曲线总经过定点(,0)

(1) 求证：点列：在同一直线上

(2) 求证：

正确答案

解：（1）法一： …….1分

的斜率

………………..2分

即在同一直线x=a上 …………………4分

(2) 解：由（1）可知 ………5分

设函数 F(x)=

综上所述有 …………………… 14 分

(1) 解法二：设切线L的斜率为k，

由切线过点得切线方程为y=k(x+a)

则方程组的解为，……..1分

由方程组用代入法消去y化简得（*）

有 ………2分

代入方程(*),得

即在同一直线x=a上 …………………4分

（2）以下类似给分

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

某公司2009年9月投资14400万元购得上海世界博览会某种纪念品的专利权及生产设备，生产周期为一年．已知生产每件纪念品还需要材料等其它费用20元，为保证有一定的利润，公司决定纪念品的销售单价不低于150元，进一步的市场调研还发现：该纪念品的销售单价定在150元到250元之间较为合理（含150元及250元）．并且当销售单价定为150元时，预测年销售量为150万件；当销售单价超过150元但不超过200元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1万件；当销售单价超过200元但不超过250元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1.2万件．

根据市场调研结果，设该纪念品的销售单价为（元），年销售量为（万件），平均每件纪念品的利润为（元）．

⑴求年销售量为关于销售单价的函数关系式；

⑵该公司考虑到消费者的利益，决定销售单价不超过200元，问销售单价为多少时，平均每件纪念品的利润最大？

正确答案

(1)

(2)x=180,利润最大为40元

略

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题型：填空题

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填空题

对于函数定义域中任意的．（≠）,有如下结论：

① = ; ② =+;

③ ④

当=时，上述结论中正确结论的序号是．

正确答案

①③④；

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）

某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．

（Ⅰ）求出的表达式；

（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?

正确答案

（Ⅰ）．

（Ⅱ）第8年工厂的利润最高，最高为520万元．　

（Ⅰ）．

（Ⅱ）由

．

当且仅当，即n＝8时取等号，

所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．　

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题型：简答题

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简答题

（12分） .已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<

(1)试求函数f(x)的解析式

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

正确答案

解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.

(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则

消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±

∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.

略

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题型：填空题

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填空题

设，若函数存在整数零点，则的取值集合为

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知函数f(x)=（x∈R），Ｐ1（ｘ1，ｙ1），Ｐ2（ｘ2，ｙ2）是函数ｙ＝ｆ(x)图像上两点，且线段Ｐ1Ｐ2中点Ｐ的横坐标为。

（１）求证Ｐ的纵坐标为定值；（4分）

（２）若数列｛｝的通项公式为＝ｆ()(ｍ∈Ｎ，ｎ＝１,２,３,…,ｍ），求数列｛｝的前ｍ项和；（5分）

（３）若ｍ∈Ｎ时，不等式＜横成立，求实数a的取值范围。（3分）

正确答案

（1）略

（2）（３ｍ－１）

（3）

解答：（１）由＝，知ｘ＋ｘ＝１，

则ｙ＋ｙ＝＋＝…＝故＝。-------4分

（２）已知Ｓ＝ｆ()+ｆ()+ｆ()+…+ｆ()+ｆ()

易证ｆ()+ｆ()＝，ｆ（１）＝ ----------------6分

前ｍ－１项逆序相加２Ｓ＝［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］+…+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］

＝（３ｍ－１） ------------9分

（３）＜ａ（－）＜０依题意知对任意ｍ∈Ｎ恒成立，显然ａ≠０，

（Ⅰ）当ａ＜０时，显然－＞０，则ａ＜０，

当ｍ取偶数时，显然不成立，故此时不合题意 ---------10分

（Ⅱ）当ａ＞０时，ａ＞０，则需－＜０，解得ａ＞＝１＋，ｍ∈Ｎ时，单调递减，故１＋≤，故此时ａ＞．

综上所述：ａ＞。 -----------12 分

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（注：图中MN//CD）.试问：

（Ⅰ）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？

（Ⅱ）方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？

（Ⅲ）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角.

(1)当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值；

(2)当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值.

正确答案

（1）x的最小正整数值是3.

（2）灌溉渠的横截面面积的最大值是.

解：由已知得等腰梯形的高为xsin，上底长为2+2xcos，从而横截面面积S=(2+2+2xcos)·xsin=x2sincos+2xsin.

(1)当时，面积是(0,+∞)上的增函数，当x=2时，S=3<8；当x=3时，S=. 所以，灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x的最小正整数值是3.

(2)当x=2时，S=4sincos+4sin，S=4cos2-4sin2+4cos

=4(2cos2+cos-1)=4(2cos-1)·(cos+1)，由S=0及是锐角，得. 当0<<时，S>0，S是增函数；当<<时，S<0，S是减函数。所以，当=时，S有最大值.

综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是.

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题型：填空题

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填空题

设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，则x= ．

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入为50万元.设表示前年的纯利润总和, 表示前年的总支出.

[前年的总收入-前年的总支出-投资额].

（1）写出的关系式

(2)写出前年的纯利润总和关于的函数关系式；并求该厂从第几年开始盈利?

(3)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元万元出售该厂，问哪种方案更合算？

正确答案

（1） ()

（2）比较两种方案，获利都是144万元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故选择方案①更合算.

解:（1）由题意知 ()………2分

(2).…………3分

由，即，解得. ………5分

由知，从第三年开始盈利. …………6分

(3)方案①：年平均纯利润为

当且仅当时等号成立. …………8分

故方案①共获利(万元), 此时.…………9分

方案②:.

当时,.

故方案②共获利(万元). …………11分

比较两种方案，获利都是144万元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故选择方案①更合算. …………12分

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题型：简答题

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简答题

已知函数，又由向右平移1个单位，向上平移2个单位得到.

（I）判断的奇偶性，并求出的极大值与极小值之和.

（II）过点且方向向量为的直线与的图像相切，求实数的值.

正确答案

（I）是奇函数极大＋极小＝4. （II）或.　

（I）由，　――――――――（2分）

又，故是奇函数.　―――――――――――――――――――――――（3分）

有的对称中心为，依题有对称中心，　――――――――――（4分）

故极大＋极小＝4.　―――――――――――――――――――――――――（6分）

（II）由题是该直线的斜率，令切点，　―――――――――――――－（7分）

从而.　―――――――――――――――――――――――（9分）

而，即，　―――――――――――――――（10分）

解得，而当时也满足题意.　――――――――――――――――（11分）

这样，或.　――――――――――――――――――――――――（12分）

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分为14分)定义在（-1,1）上的函数满足：

①对任意都有；

②在上是单调递增函数，.

（1）求的值；

（2）证明为奇函数；

（3）解不等式.

正确答案

（1）

（2）f（x）在（-1,1）上为奇函数。

（3）

解：(1)取，则

（2）令，则 ,

则f（x）在（-1,1）上为奇函数。

（3）不等式可化为

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题型：填空题

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填空题

若是R上的减函数，并且的图像经过点A（0，3）和B (3,-1)，则不等式的解集是______________。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=logm

(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；

(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.

正确答案

（1）x＜–3或x＞3.

∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3

设β≥x1＞x2≥α，有

当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.

（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］

∵0＜m＜1, f(x)为减函数

∴

即

即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根

∴ ∴0＜m＜

故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在.

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