集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长，为的中点，到的距离比的长小，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低?

正确答案

设

连结BD．

则在中，

设

则

等号成立时

答：当时，建造这个支架的成本最低．

1

题型：填空题

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填空题

给定集合An={1，2，3，…，n}，n∈N*．若f是An→An的映射，且满足：

（1）任取i，j∈An，若i≠j，则f（i）≠f（j）；

（2）任取m∈An，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．

则称映射f为An→An的一个“优映射”．

例如：用表1表示的映射f：A3→A3是一个“优映射”．

表1

表2

（1）已知f：A4→A4是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；

（2）若f：A2010→A2010是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1007）的最大值为______．

正确答案

（1）

（2）根据优影射的定义，f：A2010→A2010是“优映射”，且f（1004）=1，则对f（1000）+f（1007），

只有当f（1000）=1004，f（1007）=1007时，f（1000）+f（1007）取得最大值为 1004+1007=2011，

故答案为：2011．

1

题型：填空题

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填空题

在数列{an}中，a1=a，以后各项由递推公式an+1=给出，写出这个数列的前4项：______、______、______、______，并由此写出一个通项公式an=______．

正确答案

∵a1=a，an+1=，∴a2=，

a3===，

a4===．

观察规律：an=．

故答案为：a，，，；．

1

题型：简答题

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简答题

（本题满分10分）

已知函数

（1）在坐标系内画出函数大致图像；

（2）指出函数的递减区间。

正确答案

（1）函数大致图像如右；

（2）由图知：函数的递减区间是。

略

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题型：简答题

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简答题

（14分）已知，（）

(1) 判断在上的增减性，并证明你的结论。

(2) 解关于的不等式。

(3) 若在上恒成立，求实数a的取值范围。

正确答案

（1）在上的减函数，证明略。

（2）当a>0时，解集为｛x∣0﹤x﹤2a｝.

当a<0时，解集为｛x︱x>0｝.

（3）实数a的取值范围为（－∞，0）∪[1/4,＋∞）.

略

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题型：填空题

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填空题

已知幂函数的图像过点，则这个函数解析式为　　　　　．

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

1已知函数，且,

.

（Ⅰ）求的值域

（Ⅱ）指出函数的单调性（不需证明），并求解关于实数的不等式；

（Ⅲ）定义在上的函数满足，且当时求方程在区间上的解的个数.

正确答案

（I）值域为

（II）不等式的解集为

（III）在上共有502个解

（Ⅰ）由得，

解得，．，

的值域为；

（Ⅱ）函数在是减函数，所以，，

解得，，

所以，不等式的解集为；

（Ⅲ）当时，，当时，，

当时，，

故

由得

∵,是以4为周期的周期函数,故的所有解是,

令,则

而∴,∴在上共有502个解.

1

题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）已知是的图象上任意两点，设点，且，若，其中，且。

（1）求的值；

（2）求；

（3）数列中，当时，，设数列的前项和为，

求的取值范围使对一切都成立。

正确答案

详见解析

由，得点是的中点，

则，故，，………… 4分

所以

…… 6分

（2）由（1）知当时，。 …… 8分

又， ………… 10分

∴，

∴

…………… 13分

（，且） …………… 14分

1

题型：填空题

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填空题

定义映射f：A→B其中A={（m，n）|m，n∈R}，B=R，已知对所有的有序正整数对（m，n）满足下述条件：

①f（m，1）=1；

②若n＜m，f（m，n）=0；

③f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）]．

则f（m，n）的表达式为______．（用含n的代数式表示）

正确答案

由题意，不妨设m＜n，则

f（m，n）=n[f（m-1，n）+f（m-1，n-1）]=nf（m-1，n-1）=n（n-1）f（m-2，n-2）=…=n（n-1）…（n-m+1）=

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

设集合A={1，2}，集合B={3，4}，则从集合A到B的不同映射共有______个．

正确答案

由映射的定义知A中1在集合B中有3或4与1对应，有两种选择，

同理集合A中2也有两种选择，

由分步乘法原理得从集合A={1，2}到集合B={3，4}的不同映射共有2×2=4个

故答案为：4

1

题型：填空题

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填空题

已知函数的定义域和值域都是，其对应关系如下表所示，则．

正确答案

试题分析：解:由表可知:,,,

所以,

故答案应填5.

1

题型：填空题

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填空题

设函数满足：，则函数在区间上的最小值为．

正确答案

3

试题分析：因为，所以以代得：，两式消去得：因为在单调递减，所以

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题型：填空题

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填空题

已知函数满足，则．

正确答案

试题分析：法一：令，则，所以。法二：令，则，所以，即，所以

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题型：填空题

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填空题

已知函数, 则的值是 .

正确答案

试题分析：由分段函数解析式得.

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题型：简答题

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简答题

已知函数．

（1）求证不论为何实数，总是增函数；

（2）确定的值，使为奇函数；

（3）当为奇函数时，求的值域.

正确答案

（Ⅰ）见下（Ⅱ）(Ⅲ)

试题分析：(1)函数的单调性的证明有两种基本的方法.一是定义法；而是利用导数.在目前阶段，我们只能用定义来证明函数的单调性.即分三个步骤：①设值②作差③比较差值与0的关系.（2）作为奇函数，满足，可求得的值.(Ⅲ)求函数的值域，根据函数解析式的特点，有各种不同的方法，一般有直接观察法、换元法、单调性法、判别式法、图像法等.本题中函数值域的求得较为简单，用直接观察法即可.

试题解析（1）∵的定义域为R，任取

则

∵∴，

∴即

∴不论为何实数总为增函数， 6分

（2）∵为奇函数，∴

即解得 8分

（3）由（2）

∵∴ ∴

∴

∴的值域为 12分

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