热门试卷

（1），   。（2）结论：若时，有= ,代入化简即可证明

试题分析：（1），  2分

同理可得：  4分，

。  6分

（2）结论：若时，有=  8分

证明：设

点评：归纳推理的步骤：⑴通过观测个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题

(1)  ；(2) 。

试题分析：（1）因为根据已知函数为偶函数，则可知f(-x)=f(x),那么求解x=-2时的函数值，就等于x=2时 的函数值。

（2）在x<0时，得到-x大于零，进而代入已知关系式中得到f(-x)，在结合奇偶性得到f(x)

解：(1)∵ 函数是R上的偶函数,∴    ………3分

(2)当，，              ………7分

∵函数是R上的偶函数，∴，………11分

故当时，函数的解析式。          ………12分

点评：解决该试题的关键是能利用偶函数关于y轴对称，那么在将所求解的区间的变量，转化为已知区间的变量，结合偶函数的定义得到结论。

（1）从甲地到乙地汽车的行驶时间为，  

则

． 

（2），由，得，列出下表：

所以，当时，取得极小值也是最小值．       

答：当汽车的行驶速度为时，耗油量最少为

(1),根据可求出y=f(x).

(2)求导，根据导数确定其最小值.

解：（1）设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。

由题设：当价格上涨x%时，销售总额为y=a(1+x%)b(1－mx%)，

即 ，（0），

取m=得：y=，当x=50时，ymax=ab，

即：该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。

（2）二次函数，在上递增，

在上递减，

适当地涨价能使销售总金额增加，即 在(0,)内存在一个区间，使函数y在此区间上是

增函数，所以  ， 解得，即所求的取值范围是（0，1）．

略

(1)f(x)=|x-k|，x∈[k-,k+](k∈Z)；（2）略；（3）1

（Ⅰ）当时，没有极值；

当时，的极大值为，没有极小值。（Ⅱ）见解析        

（Ⅰ）  

当，，函数在内是增函数，

∴函数没有极值。       当时，令，得。

当变化时，与变化情况如下表：

∴当时，取得极大值。

综上，当时，没有极值；

当时，的极大值为，没有极小值。          

（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上。

∵，即证存在，使得，即成立，且点不在上。   …………………8分

以下证明方程在内有解。…

记，则。

令，

∴，

∴在内是减函数，∴。

取，则，即。……9分

同理可证。∴。

∴函数在内有零点。

即方程在内有解。又对于函数取，则

可知，即点Q不在上。

是增函数，∴的零点是唯一的，

即方程在内有唯一解。

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

（ⅱ）取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。

证明如下：

设是曲线C上任意两点，

则，

又，

即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。  

注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲

线，没有给出正确的证明，请酌情给分。

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上。 ∵，即证存在，使得，

即成立，且点不在上。……………  8分

以下证明方程在内有解。

设。…

则。

记，

∴，

∴在内是增函数，

∴。  同理。。

∴方程在内有解。又对于函数，

∵，，

可知，即点Q不在上。

又在内是增函数，

∴方程在内有唯一解。

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

（ⅱ）同解法一。

(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)

(1) 解：∵，∴.                                         …… 1分               

∵对于任意R都有,

∴函数的对称轴为，即，得.       …… 2分

又，即对于任意R都成立，

∴,且．

　　　　∵，     ∴．

　　　　∴．                                             …… 4分

(2) 解：            …… 5分

① 当时，函数的对称轴为，

若，即，函数在上单调递增；        …… 6分

若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．

…… 7分

② 当时，函数的对称轴为，

　则函数在上单调递增，在上单调递减．  …… 8分

综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为

；                                                     …… 9分

当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为

和．                                        …… 10分

(3)解：① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，

　　　　　又，

　　　　　故函数在区间上只有一个零点．                      …… 11分

　　　　② 当时，则，而，

　　　　，

（ⅰ）若，由于，

且，

此时，函数在区间上只有一个零点；                    …… 12分

　　　　（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间  

上有两个不同的零点．                                         …… 13分

　　 　综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；

　　　　　　　 　当时，函数在区间上有两个不同的零点．   …… 14分

略

（1）

（2）该景点改造升级后旅游利润）的最大值为万元

解：（1）由条件…………2分

解得…………4分

则…………6分

（2）由

则…………10分

令（舍）或

当时，，

因此在（10，50）上是增函数；

当时，，

因此在（0，+∞）上是减函数，

为的极大值点…………11分

即该景点改造升级后旅游利润）的最大值为万元。…………12分

（Ⅰ）

（Ⅱ）满足条件①﹑②﹑③所以为友谊函数

（Ⅲ）

解：（Ⅰ）取得,又由，得………………2分

（Ⅱ）显然在上满足①②，若，且，则有故满足条件①﹑②﹑③所以为友谊函数. ………………7分

（Ⅲ）因为，则0＜＜１，

所以 . ………………12分

解：（1）由，可化简为

 -------2分当且仅当时，方程有唯一解． ---3分

从而 -------4分

（2）由已知，得 -------5分

，即  

数列是以为首项，为公差的等差数列．  -------6分

，

，，即

    -------7分

故  -------8分

（3）证明：， -------10分

 ---11分

故 

略