集合与函数的概念_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？

正确答案

本题实际上是求正方形窗口边长最小值.

由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.

如图:

设AE=x,BE=y,

则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y

∴

∴.

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数

（1）求函数的解析式，并指出其单调性；

（2）函数的取值集合；

（3）当的值恰为负数，求a的取值范围。

正确答案

见解析

解：（1）令

的定义域为R。 ………………3分

为奇函数。

综上，为R上的增函数。 ………………5分

（2）由得：

再由定义域和单调性得：，解之得：

（3）因为在R上是增函数，且…………10分

要使在上恰为负数，只需，

解之得 ………………12分

1

题型：填空题

|

填空题

给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）=n-k

（1）设k=1，则其中一个函数f（x）在n=1处的函数值为______；

（2）设k=4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为______．

正确答案

（1）∵n=1，k=1且f（1）为正整数

∴f（1）=a（a为正整数）

即f（x）在n=1处的函数值为 a（a为正整数）

（2）∵n≤4，k=4f（n）为正整数且2≤f（n）≤3

∴f（1）=2或3 且 f（2）=2或3 且 f（3）=2或3 且f（4）=2或3

根据分步计数原理，可得共24=16个不同的函数

故答案为（1）a（a为正整数）

（2）16

1

题型：填空题

|

填空题

已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}．若令M=A∩B，N=A∪B，那么从M到N的映射有______个．

正确答案

M=A∩B={3，4}，N=A∪B={1，2，3，4，5}，

∵card（M）=2，card（N）=5

M中的每个元素的对应方式有5种，有2个元素，故可以分二步求M到N的不同映射的种数，即5×5=25．

故答案为：25．

1

题型：填空题

|

填空题

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这一系列函数为“同族函数”，试问解析式为y=x2，值域为{1，2}的“同族函数”共有______个．

正确答案

1的原象是正负1；2的原象是正负．

值域为{1，2}，所以y=x2的同族函数只有9个，定义域分别为{1，}，{-，-1}，{，-1}，{-，1}，

{-，-1，1}，{，-1，1}，{-，，-1}，{-，，1}，{-，，1，-1}，共9个

故答案为：9．

1

题型：填空题

|

填空题

已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4，}，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数最少是______．

正确答案

∵集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4，}，

且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，

|-3|=3，|3|=3，需要有元素3，

|-2|=|2|=2，需要有元素2，

|-1|=|1|=1，需要有元素1，

|4|=4，需要有元素4，

故集合B中最少要有3，2，1，4这四个元素，

故答案为：4

1

题型：简答题

|

简答题

甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．

正确答案

f(x)＝

解：当x∈[0,30]，设y＝k1x＋b1，

由已知得

∴k1＝，b1＝0，y＝x；

当x∈(30,40)时，y＝2；

当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，

由已知得

∴k2＝，b2＝－2，y＝x－2.

∴f(x)＝

1

题型：填空题

|

填空题

已知=，则的解析式可取为

正确答案

这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法

令，则，∴ .∴.

故应填

求函数解析式的常用方法有：① 换元法（注意新元的取值范围）；② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方程组（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等）。

1

题型：填空题

|

填空题

设A=B=R，已知映射f：x→x2，与B中的元素4相对应的A中的元素是______．

正确答案

令 x2=4，解得x=±2，根据映射的定义，与B中的元素4相对应的A中的元素是±2，

故答案为±2．

1

题型：填空题

|

填空题

给定映射f（x，y）→（，x+y），若f（a，b）→（2，3），则函数f（x）=ax2+bx的顶点坐标是______．

正确答案

由

得：

∴（2，3）的原象是（4，-1）

∴f（x）=ax2+bx即f（x）=4x2-x，

∴顶点坐标是（，-）．

故答案为：（，-）．

1

题型：简答题

|

简答题

设函数.

（1）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；

（2）设，若对任意、，有，求的取值范围.

正确答案

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）利用零点存在定理说明在区间内存在零点，然后利用函数的单调性来说明零点的唯一性；（2）先确定函数的解析式，将问题等价转化为“在上的最大值与最小值之差”，对二次函数的对称轴与区间的位置关系来进行分类讨论，从而求解出实数的取值范围.

试题解析：（1）当，，时，，

，在区间内存在零点，

又当时，，

在区间是单调递增的，在区间内存在唯一的零点；

（2）当时，，

对任意、都有等价于在上的最大值与最小值之差，

据此分类讨论如下：

（i）当时，即时，，与题设矛盾！

（ii）当，即时，恒成立；

（iii）当，即时，.

综上所述，.

1

题型：填空题

|

填空题

根据下表，用二分法求函数在区间上的零点的近似值（精确度）是．

正确答案

或或区间上的任何一个值

试题分析：解：由于f（1.5）=-0.125＜0，f（1.5625）=0.12719726＞0，

∴函数f（x）=x3-3x+1在区间（1，2）上的零点为区间[1.5，1.5625]上的任何一个值，

∵精确度0.1，∴近似值是1.5．故答案为：1.5

1

题型：简答题

|

简答题

某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式其中，今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元），

（1）求y关于x的解析式，

（2）怎样投资才能使总利润最大，最大值为多少？.

正确答案

(1) ∈[0，5]，；（2）当时，甲项目投资亿元，乙项目投资亿元，总利润的最大值是亿元；当时，甲项目投资亿元，乙项目投资不投资，总利润的最大值是亿元.

试题分析：(1)对甲、乙公司投资所获利润分别为∴投资这两个项目所获得的总利润为 ∈[0，5]，；（2）只需求函数的最大值就可以了，考虑到和（的关系，可用换元法，将其转换为二次函数求最值问题，令，则且，，只需讨论对称轴和定义域的位置关系即可求其最大值.

试题解析：(1)根据题意，得： ∈[0，5]，． 4分

(2)令，则且

8分

当时，即，当时，，此时

当时，即，当时，，此时 12分

答：当时，甲项目投资亿元，乙项目投资亿元，总利润的最大值是亿元；当时，甲项目投资亿元，乙项目投资不投资，总利润的最大值是亿元 14分

1

题型：填空题

|

填空题

已知实数，方程有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数的取值范围____.

正确答案

试题分析：令，根据函数的图象，发现：当x＞1时，函数的图象是由的图象向下平移单位而得，它与x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于1；而x≤1的图象是抛物线的一部分；若方程有且仅有两个不等实根，且较大实根大于３，则有：，，即，解得实数的取值范围．

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数

（1）当，且时，求证：

（2）是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是？若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由.

正确答案

（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.

试题分析：（1）分时和时，根据绝对值的性质，可根据绝对值的定义，可将函数的解析式化为分段函数的形式，进而分析函数的单调性，结合函数的单调性证得结论

（2）根据（1）中结论，分①当、时，②当、时，③当、时，三种情况讨论、的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．

试题解析：（1），，

所以在（0，1）内递减，在（1，+）内递增.

由，且，即.

（2）不存在满足条件的实数.

①当时，在（0，1）内递减，

，所以不存在.

②当时，在（1，+）内递增，

是方程的根.

而方程无实根.所以不存在.

③当时，在（a，1）内递减，在（1，b）内递增，所以，

由题意知，所以不存在.

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案