集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。根据表中的数据作散点图，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）．某人用（0,0），（10,1.1），（30,6.9）求出相关系数，用（60,24.8）验证，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为14.4m，问汽车在刹车时的速度大概是多少？

（其中用函数拟合，经运算得到函数式为，且）

正确答案

汽车在刹车时的速度是45km/h。

本试题主要考查了二次函数在实际生活中的运用。根据已知的函数图象应通过原点（0，0），设出解析式，然后代入点得到结论。并对于函数对于函数，当x=60时，，显然可知用函数拟合更合理。

解：因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。模拟函数选用二次函数时，设为，

依题意：

解出a、b得，

当x=60时，。

对于函数，当x=60时，。显然用函数拟合更合理。

将y =14.4代入得

解得x=45。

所以，汽车在刹车时的速度是45km/h。

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题型：简答题

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简答题

(13分) 已知函数满足．

（1）求的解析式；

（2）设，，试求在 [ 1，3 ] 上的最小值．

正确答案

18．解：(1) ∵令，则

于是

∴

(2)

①当时，即时，

②当时，即时，

③当时，即时，

综上，

略

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分l 2分)某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15一O.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为l0．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润 = 售价一供货价格．问：

(I)每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元?

(Ⅱ)每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大?

正确答案

解：（Ⅰ）每套丛书定价为100元时，销售量为万套，

此时每套供货价格为元，················· 3分

∴　书商所获得的总利润为万元．·········· 4分

（Ⅱ）每套丛书售价定为元时，由得，，··· 5分

依题意，单套丛书利润

·············· 7分

∴，

∵　，∴　，

由　， ······· 10分

当且仅当，即时等号成立，此时

．

答：（Ⅰ）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（Ⅱ）每套丛书售价定为140元时，单套利润取得最大值100元．·························· 12分

（说明：学生未求出最大值不扣分）．

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数，，且函数在区间（2,+∞）上是减函数，则

的值 .

正确答案

或者

（1），由于函数在（2,+∞）上递减，所以即，

又，所以或者

时，;时，

1

题型：填空题

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填空题

已知函数，则．

正确答案

-1

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）求函数的定义域；

（2）若存在,对任意，总存在唯一，使得成立.求实数的取值范围.

正确答案

（1）

（2）

试题分析：解：（1）由解得

即

（2）首先，

∵∴ ∴函数的值域为

其次，由题意知：，且对任意，总存在唯一，使得．以下分三种情况讨论：

①当时，则，解得；

②当时，则，解得；

③当时，则或，解得；

综上：

点评：主要是考查了三角函数的性质和对数函数的不等式的求解，以及二次方程根的分布问题，属于中档题。

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题型：简答题

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简答题

已知向量函数

（Ⅰ）求的单调增区间；

（Ⅱ）若时，的最大值为4，求的值.

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

试题分析：

…………3分

(Ⅰ)

所以的单调增区间为；

（Ⅱ）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的最大值为，所以

点评：若则，求形如的三角函数单调区间时首先将看做一个整体在相应的单调区间内

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题型：简答题

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简答题

文科）（本小题满分12分）

已知函数，函数的图像在点的切线方程是

（1）求函数的解析式

（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围

正确答案

（1）、，①，②，由①②得，a=-8,b=8，

（2）、得

所以

略

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题型：填空题

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填空题

已知定义在R上的函数则= .

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

( (本小题满分13分)

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：Tn＝228a(1.012n－1).(n≤24，n∈N*)

(1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；

(2)比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；

(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由.

(参考数据：≈1.09，≈8.66)

正确答案

解：(1)Q型车每月的销售量{an}是以首项a1＝ a，

公比q ＝ 1＋1%＝ 1.01的等比数列(2分)

前n个月的销售总量Sn＝＝100a(1.01n－1)，(n∈N*，且n≤24).

(2) ∵Sn－Tn＝100a(1.01n－1)－228a(1.012n－1)

＝100a(1.01n－1)－228a(1.01n－1)(1.01n＋1)

＝－228a(1.01n－1)·(1.01n＋)

又1.01n－1>0,1.01n＋>0，∴Sn<Tn.(8分)

(3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为an和bn，则an＝a×1.01n－1

当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝228a(1.012n－1)－228a(1.012n－2－1)

＝228a×(1.012－1)×1.012n－2＝4.5828a1.012n－2.(10分)

b1＝4.5828a，显然20%×b1<a1.

当n≥2时，若an<20%×bn，a×1.01n－1<×4.5828a×1.012n－2，

1.012(n－1)>×1.01n－1,1.01n－1>≈1.09，n－1>≈8.66.

∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.(13分)

略

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题型：简答题

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简答题

（12分）某农户要建造一长方体无盖蓄水池，其容积为48，深为3m，如果池底每平方米造价为80元，池壁每平方米造价为60元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

正确答案

当水池底设计成边长为4m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是4160元

设水池底一边长为米，则另一边长为，并设水池总造价为元，

由题意得

………………………2分

，…………………………………6分

当且仅当，即时，有最小值4160……………10分

因此，当水池底设计成边长为4m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是4160元

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题型：填空题

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填空题

设且。若函数的图象与直线恒有公共点，则应满足的条件是

正确答案

或

略

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分14分)

某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：

①销售量(件)与衬衣标价(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：，在销售淡季近似地符合函数关系：，其中为常数；

②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；

③若称①中时的标价为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．

请根据上述信息，完成下面问题：

(Ⅰ)填出表格中空格的内容：

(Ⅱ)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？

正确答案

（1）

（2）故在销售淡季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为110元/件

解：（Ⅰ）

6分

（Ⅱ）在（Ⅰ）的表达式中，由可知，

在销售旺季，当时，利润取得最大值；

在销售淡季，当时，利润取得最大值.7分

下面分销售旺季和淡季进行讨论：

由②知，在销售旺季，商场以140元/件的价格出售时，能获得最大利润.

因此在销售旺季，当标价时，利润取得最大值。此时，，销售量为. 10分

令得，故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件.

∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为120元/件.可见在销售淡季，当标价时，，∴，∴. 12分

∴在销售淡季，当时，利润取得最大值，

故在销售淡季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为110元/件.12分

1

题型：填空题

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填空题

设=" "

正确答案

2

略

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)函数

（1）若，证明；

(2)若不等式时和都恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

（1）证明略

（2）或

（1），

是增函数，故，得证。（4分）

（2）原不等式等价于，设

，（8分）

，（12分）

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