集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（14分）设。

（1）若是函数的极大值点，求的取值范围；

（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

（2分）

当时，

综上所述，当，即时，是函数的极大值点．（7分）

（2）在上至少存在一点，使成立，等价于

当时, ．（9分）

由（1）知，①当，即时，

函数在上递减，在上递增，

．

由，解得．

由，解得

，；（12分）

②当，即时，函数在上递增，在上递减，

．

综上所述，当时，在上至少存在一点，使成立．（14分）

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题型：填空题

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填空题

如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是________(填序号)．

正确答案

④

依题意，直线l从l0开始按逆时针方向匀速转动，开始一段时间阴影部分的面积增加的比较慢，中间一段时间阴影部分的面积增加的比较快，最后一段时间阴影部分的面积增加的又比较慢，因此④符合题意．

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题型：填空题

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填空题

[2012·江苏高考]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．

正确答案

9

通过值域求a，b的关系是关键．

由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－.

∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.

∴f(x)＝(x＋)2.

又∵f(x)＜c，∴(x＋)2＜c，

即－－＜x＜－＋.

∴

②－①，得2＝6，∴c＝9.

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题型：简答题

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简答题

已知函数x,y满足x≥1,y≥1 loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.

正确答案

当a>1时，logaxy的最大值为2+2，最小值为1+；

当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－，最小值为2－2.

由已知等式得 loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),

即(logax－1)2+(logay－1)2="4, "

令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.

在直角坐标系uOv内，

圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，

分两类讨论:

(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得

1+≤k≤2(1+);

(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－)≤k≤1－.

综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+2，最小值为1+；

当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－，最小值为2－2.

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题型：简答题

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简答题

试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1），；

（2），

（3），（n∈N*）；

（4），；

（5），

正确答案

（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数

（1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.

（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.

（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.

（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分14分)已知二次函数，不等式的解集为．(Ⅰ)若方程有两个相等的实根，求的解析式；(Ⅱ)若的最大值为正数，求实数的取值范围．

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ)

：（Ⅰ）∵不等式的解集为∴和是方程的两根--1分 ----2分 ∴

又方程有两个相等的实根∴ ---4分

∴∴ ∴或（舍）---5分

∴ --6分 ∴ ----7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

--------9分

∵，∴的最大值为 -11分

∵的最大值为正数∴ ∴解得或 -13分所求实数的取值范围是 -14分

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题型：填空题

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填空题

已知A={a，b，c}，B={0，1，2}，则满足条件f（a）+f（b）＞f（c）的映射f：A→B有 ______个．

正确答案

f（a）=0，1，2；f（b）=0，1，2；f（c）=0，1，2．

当f（c）=0时，满足条件的映射有8个：f（c）=0，f（a）=0，f（b）=1；f（c）=0，f（a）=0，f（b）=2；f（c）=0，f（a）=1，f（b）=0；f（c）=0，f（a）=1，f（b）=1；f（c）=0，f（a）=1，f（b）=2；f（c）=0，f（a）=2，f（b）=0；f（c）=0，f（a）=2，f（b）=1；f（c）=0，f（a）=2，f（b）=2．

当f（c）=1时，满足条件的映射有6个：f（c）=1，f（a）=f（b）=1；f（c）=1，f（a）=2，f（b）=1；f（c）=1，f（a）=1，f（b）=2；f（c）=1，f（a）=2，f（b）=2；f（c）=1，f（a）=2，f（b）=0；f（c）=1，f（a）=0，f（b）=2．

当f（c）=2时，满足条件的映射有3个：f（c）=2，f（a）=1，f（b）=2；f（c）=2，f（a）=2，f（b）=1；f（c）=2，f（a）=2，f（b）=2．

综上所述，满足条件f（a）+f（b）＞f（c）的映射f：A→B有17个．

故答案为：17．

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题型：填空题

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填空题

设函数若，则实数的取值范围是______

正确答案

由题意，或，解得，当或，解得，，解得．

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题型：填空题

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填空题

某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3 000元，以后逐年递增3 000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是________．

正确答案

10

设最佳使用年限为x年，年平均费用为y万元，则y＝＋0.15x＋1.65≥4.65，此时x＝10.

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题型：填空题

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填空题

已知是函数图象上的任意一点，是该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有 “性质”.现有函数：

①; ②； ③； ④.

则在区间上具有“性质”的函数为 .

正确答案

①②③④

试题分析：①;显然；

②；直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.所以具有T性质；

③，直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则；

④.直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.

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题型：简答题

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简答题

已知函数．

（1）若在定义域上为增函数，求实数的取值范围；

（2）求函数在区间上的最小值．

正确答案

（1）；（2）详见解析

试题分析：（1）将函数在定义域上为增函数转化为不等式在定义域上恒成立的问题去处理，并借助参数分离法求参数的取值范围；（2）对的范围进行分类讨论，确定函数在上的单调性，进而确定函数在上的最小值。

试题解析：（1）因为函数，

所以函数的定义域为． 1分

且． 2分

若在定义域上是增函数，

则在上恒成立． 3分

即在上恒成立，所以． 4分

由已知，

所以实数的取值范围为． 5分

（2）①若，由（1）知，函数在区间上为增函数．

所以函数在区间上的最小值为． 6分

②若，由于，

所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数． 7分

（ⅰ）若，即时，，

函数在区间上为增函数，

所以函数在的最小值为． 9分

（ⅱ）若，即时，

函数在区间为减函数，在上为增函数，

所以函数在区间上的最小值为． 11分

（ⅲ）若，即时，，

函数在区间上为减函数，

所以函数在的最小值为． 13分

综上所述，当且时，函数在区间上的最小值为．

当时，函数在区间的最小值为．

当时，函数在区间上的最小值为． 14分

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题型：简答题

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简答题

（理科题）（本小题12分）

某房产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元。

（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？

（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案①年平均利润最大时以46万元出售该楼；

②纯利润总和最大时，以10万元出售楼，问选择哪种方案盈利更多？

正确答案

（1）从第4年开始获取纯利润。

（2）两种方案获利一样多，而方案（1）时间比较短，所以选择方案（1）。

试题分析：（1）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共，付出投资81万元，由此可知利润y=30n-（81+n2），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．

（2）①纯利润总和最大时，以10万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润，方案②利用基本不等式进行求解，当两种方案获利一样多，就看时间哪个方案短就选择哪个．.

（1）设第年获取利润为万元。………………1分

年共收租金30万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，

共…………………2分

因此利润令……………4分

解得……………5分

所以从第4年开始获取纯利润。………………6分

（2）年平均利润………………8分

………………9分

（当且仅当）所以9年后共获利润：154万元。……………10分

利润

所以15年后共获利润：144+10=154万元……………………11分

两种方案获利一样多，而方案（1）时间比较短，所以选择方案（1）。…………………12分

点评：本题是函数模型选取问题，在直接比较不能凑效的前提下可考虑作差法比较.

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题型：填空题

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填空题

函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数满足：(1)在[a，b]内是单调函数；(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=的“美丽区间”．下列函数中存在“美丽区间”的是 . (只需填符合题意的函数序号)

①、； ②、；

③、； ④、.

正确答案

①③④

试题分析：函数中存在“美丽区间”的定义可知：①在[a，b]内是单调增函数；

则，解得∴f（x）=x2（x≥0），若存在“美丽区间”[0，2]，∴f（x）=x2（x≥0），若存在“美丽区间”[0，2]；②f（x）=ex（x∈R），若存在“美丽区间”[a，b]，则，所以，构建函数g（x）=ex-2x，∴g′（x）=ex-2，∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴ex-2x=0无解，故函数不存在“美丽区间”；③在上单调递减，若存在“美丽区间”[a，b]，则，则，故存在；④，，若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则∴a=0，b=1，若存在“美丽区间”[0，1]；故存在“美丽区间”的是①③④.

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题型：填空题

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填空题

若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 .

正确答案

或.

试题分析：由题意知，点在曲线上，则有，故幂函数的解析式为，

，故当时，，故直线的方程为，即或.

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题型：简答题

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简答题

已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立.

（1）判断在上的单调性，并证明；

（2）解不等式：；

（3）若当时，对所有的恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

解：（1）在上单调递增.

（2）不等式的解集为

（3）的取值范围是或.

本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．

（1）由单调性定义判断和证明；

（2）由f（x）是奇函数和（1）的结论知f（x）在上[-1，1]是增函数，再利用定义的逆用求解；

（3）先由（1）求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．

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