热门试卷

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）证明见解析．

试题分析：

解题思路：（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；（2）构造函数，将图像的交点个数转化为函数的零点个数，通过函数的极值的正负求参数的值；（3）构造函数，利用放缩法合理转化.

规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.

试题解析：(1)记，则的定义域为.

当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

由得，即，

令，；

当时，，则单调递增，且；

当时，，则单调递减，且，

所以在处取到最大值；

故要使与有两个不同的交点，只需.

(3）由已知：，所以

由，故

同理

综上所述得.

(1)   (2) 要使公园所占面积最小，休闲区应设计为长100米，宽40米

试题分析：(1)设休闲区的宽为米，则其长为米，根据休闲区的面积为4000平方米，

将用表示，然后根据矩形的面积公式求出公园所占面积关于的函数即可；

（2）利用均值不等式求出最小值，利用等号成立的条件，从而求出长和宽.

试题解析：（1）解：设休闲区的宽为米，则其长为米.

由，得：，则

即.

（2）

当且仅当，即时取等号，此时，；

所以要使公园所占面积最小，休闲区应设计为长100米，宽40米.

（1）；（2）点距点6km.

试题分析：（1）由图可知，因此为了求，可通过求和，，下面关键要求，为止作，垂足为，这时会发现随的取值不同，点可能在线段上，也可能在线段外，可能为锐角也可能为钝角，这里出现了分类讨论，作交延长线于，由已知可求出，这就是分类的分界点；（2）由（1）求得，要求它的最大值，可以采取两种方法，一种是由于分子是一次，分母是二次的，可把分子作为整体，分子分母同时除以（当然分母也已经化为的多项式了），再用基本不等式求解，也可用导数知识求得最大值.

（1）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F．

由题知，AB＝4.5，BC＝4，∠ABF＝90o－60o＝30o，

所以CE＝AF＝4.5×sin30o＝，BF＝4.5×cos30o＝，

AE＝CF＝BC＋BF＝．

因为CD＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝＝．

当x＞时，ED＝x－，tan∠ADC＝＝＝（如图1）；

当0＜x＜时，ED＝－x，tan∠ADC＝－＝（如图2）．            4分

所以tanq＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝

＝＝，其中x＞0且x≠．

当x＝时tanq＝＝，符合上式．

所以tanq＝( x＞0)                                      8分

（2）（方法一）tanq＝＝＝，x＞0．      11分

因为4(x＋4)＋－41≥2－41＝39，

当且仅当4(x＋4)＝，即x＝6时取等号．

所以当x＝6时，4(x＋4)＋－41取最小值39．

所以当x＝6时，tanq取最大值．                                      13分

由于y＝tanx在区间(0，）上是增函数，所以当x＝6时，q取最大值．

答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大  14分

（方法二）tanq＝f(x)＝＝．

f ¢(x)＝＝－，x＞0．

由f ¢(x)＝0得x＝6．                                                      11分

当x∈（0，6）时，f ¢(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈（6，＋∞）时，f ¢(x)＜0，此时函数f(x)单调递减．

所以函数f(x)在x＝6时取得极大值，也是最大值f(6)＝．                    13分

由于y＝tanx在区间(0，）上是增函数，所以当x＝6时，q取最大值．

答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大．  14分

（1），=R(x)-G(x)=；（2）当工厂生产4百台时，可使赢利最多，此时每台售价为260元.

试题分析：（1）由题意总成本，利润函数；（2）要使盈利最多，即求函数的最大值，分段函数在每一段上分别求最大值，当时，由二次函数性质求得，当时，，因此当时，取得最大值3.6 , 此时每台售价为（万元）=260元.

试题解析：（1）由题意得.     2分

∴==．5分

（2）当时，函数在上单调递减，  7分

当时，函数=-0.4(x-4)2+3.6，

当x=4时，          10分

当时，取得最大值3.6                 11分

此时每台售价为（万元）=260元              13分

答：当工厂生产4百台时，可使赢利最多，此时每台售价为260元 .  15分

（1）；（2）单调增区间为．

试题分析：（1）利用平面向量基本定理求解；（2）由（1）得解析式，然后利用导数求解单调增区间.

试题解析：（1）∵ ，且A、B、C是直线上的不同三点，

∴， 

∴；    

（2）∵，∴，  ∵的定义域为，而在上恒正， ∴在上为增函数，

即的单调增区间为．

（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

试题分析：（Ⅰ）根据题意, ：当时，,当时，是一次函数, 可设为，将与代入求出即可；（Ⅱ）分段函数最值分段求, 当时，为增函数，故当时，其最大值为,当时，是二次函数,利用二次函数性质,求出最大值,然后比较,谁最大为谁.

试题解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得,故函数的表达式为

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得,当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，，当且仅当，即时，等号成立．所以，当时，在区间上取得最大值．

综上，当时，在区间上取得最大值，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

（Ⅰ）y的最小正周期是2．（Ⅱ）函数y的最大值是2。

试题分析：（Ⅰ）∵y=2（ ）               2分

=2（sinxcos30°+cosxsin30°）      4分

=2sin（x+30°）                     6分

∴y的最小正周期是2．               8分

（Ⅱ）∵﹣1≤sin（x+30°）≤1             10分

∴﹣2≤2sin（x+30°）≤2             12分

∴函数y的最大值是2                 14分

点评：中档题，涉及硬件三角函数的图象和性质问题，一般需利用三角公式，将三角函数式“化一”，三角函数的辅助角公式，是重点考查的公式之一。

（I）（II）

（1）当时，；当时，.

因此，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；

若，则在上单调递减，；

若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，从而；当时，；当时，，综上所诉，；

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求；当时，在上单调递减，在上单调递增. 若存在，使曲线在、两点处的切线相互垂直，则，且，即，亦即*；由得，故*成立等价于集合与集合的交集非空；因为，所以当且仅当，即时，，综上所诉a的取值范围是

（1）；

（2）当车流密度为辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约辆/小时.

试题分析：（1）先根据题中函数在区间上为一次函数，设，利用和的值列方程组解出和的值，从而确定函数的解析式；（2）利用（1）中函数的解析式，将函数的解析式确定下来（分段函数），然后分别求出函数在区间与上的最大值，并比较大小，从而确定函数在定义域的最大值，进而确定相应的车流密度与车流量.

试题解析：（1）当时，设，

则有，解得，

所以；

（2）由题意知，

当时，，则函数在区间上单调递增，此时在处取最大值，

即；

当时，，函数图象开口朝上，对称轴为直线，

此时函数在处取得最大值，即，

，故当时，，

即当车流密度为辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约辆/小时.