集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

运货卡车以每小时x千米的匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米／小时）.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（）升，司机的工资是每小时14元.

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ） km/h时，最低费用的值为.

试题分析：（Ⅰ）行车总费用包括两部分：一部分是油耗；另一部分是司机工资，首先表示出行车时间为，故司机工资为（元）,耗油为（元），故行车总费用为二部分的和；（Ⅱ），由基本不等式可求最小值，注意等号成立的条件（时取等号），如果等号取不到，可考虑利用对号函数的图象，通过单调性求最值.

试题解析：（Ⅰ）设所用时间为，.

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是

（或，）

（Ⅱ）

仅当，即时，上述不等式中等号成立

答：当km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元

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题型：简答题

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简答题

15分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且销售量近似满足函数（件），价格近似满足函数

（元）。

（1）试写出该种商品的日销售额函数表达式；

（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值。

正确答案

（1）

（2）

函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．

（1）由于销售量近似满足函数（件），价格近似满足函数（元）。则可知该种商品的日销售额函数表达式

（2）判断函数的单调性判断出函数的最值，即该商品的日销售金额y的最值

解：（1）

（2）

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题型：简答题

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简答题

已知函数。

（I）当时，解不等式；

（II）求的最大值。

正确答案

解：（I）当时，

原不等式等价于，或

故原不等式的解集为；

（II）∵

即

①当时，在上单减，最大值为，

在上先增后减，最大值为，

此时，在上最大值为；

②当时，在上先增后减，最大值为，

在上单增，最大值为，

此时，上最大值为

③当时，在上最大值为0。

综上，当时，最大值为；当时，最大值为。

略

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题型：填空题

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填空题

设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（x+y，x-y），则在映射f下，象（2，1）的原象是______．

正确答案

由题意可得，

∴即象（2，1）的原象为（，）

故答案为：（，）

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题型：填空题

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填空题

设A=B=a，b，c，d，…，x，y，z（元素为26个英文字母），作映射f：A→B为A中每一个字母与B中下一个字母对应，即：a→b，b→c，c→d，…，z→a，并称A中的字母组成的文字为明文，相应B中字母为密文，试破译密文“nbui”______．

正确答案

由题意知，密文与明文的对应关系是：

英文字母表中的前一个字母，

故：n→m，b→a，u→h，i→h．

破译密文“nbui”的结果为：math

故答案为：math．

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题型：填空题

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填空题

设P(x，y)为函数y＝x2－1(x＞)图象上一动点，记m＝，则当m最小时，点P的坐标为________．

正确答案

(2，3)

m＝＝6＋.

当且仅当，即x＝2时m取得最小，此时点P的坐标为(2，3)．

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题型：填空题

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填空题

函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间是________．

正确答案

(1,2)

利用零点存在定理求解．因为f(1)f(2)＝(－1)·＜0，所以由零点存在定理可知零点所在的区间是(1,2)．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系中, 如果两点A(a, b), B(－a, －b)在函数的图象上, 那么称[A, B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点 ([A , B]与[B, A]看作一组). 函数

关于原点的中心对称点的组数为_____________

正确答案

2

试题分析：函数可以由对数函数的图象向左平移1个单位得到，

又由，则图象过空点和实点，

则与函数，图象关于原点对称的图象过，

所以对称的图象与有两个交点，

坐标分别为、，

故关于原点的中心对称点的组数为2，答案为2．

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题型：简答题

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简答题

已知函数（其中为常数且）的图象经过点.

（1）求的解析式；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

(1)(2)

试题分析：（1）把点代入函数的解析式求出的值，即可求得的解析式．

（2）由（1）知在上恒成立，设，利用g（x）在上是减函数，能求出实数m的最大值．

试题解析：

(1)由题意得

(2)设

在上是减函数

在上的最小值

因为在上恒成立

即

得

所以实数的取值范围.

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题型：简答题

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简答题

设二次函数，方程有两个相等的实根，且．

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

正确答案

：(1)f′(x)＝2ax＋b.

又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.

又方程f(x)＝0有两个相等实根，

即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，

所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.

故f(x)＝x2＋2x＋1.--------------------------------------------------------------------5分

(2)依题意，所求面积为S＝(x2＋2x＋1)dx，

取F(x)＝x3＋x2＋x，则F′(x)＝x2＋2x＋1，

∴S＝(x2＋2x＋1)dx＝F(0)－F(－1)＝.--------------------------------------10分

略

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题型：填空题

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填空题

某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目。按要求对甲项目的投资不少于对乙项目投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元；对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润，对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润，如该公司在正确规划后，在这两个项目上共可获得的最大利润为万元。

正确答案

31.2

考点：

分析：这是一个简单的投资分析，因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍），尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍可获最大利润．这是最优解法．

解答：解：因为对乙项目投资获利较大，

故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）

尽可能多地安排资金投资于乙项目，

即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍可获最大利润．这是最优解法．

即对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．

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题型：简答题

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简答题

已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数.

（1）试写出满足上述条件的一个函数；

（2）若，求的取值范围

正确答案

解：（1）略

（2）是偶函数，

在区间上是单调增函数

或

略

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题型：填空题

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填空题

函数的定义域为,若，且时总有，则称为单一函数.如是单一函数，下列命题正确的是____▲____．（写出所有正确答案）

①函数是单一函数；

②函数是单一函数；

③若为单一函数，且，则；

④在定义域上是单一函数一定是单调函数．

正确答案

②③

略

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题型：填空题

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填空题

函数的定义域为　．

正确答案

本题考查函数的定义域

由得，所以，

即

所以或

由得；由得.

所以的定义域为

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分13分)

某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为万元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．

（1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；

（2）求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？

正确答案

解：（1）设投放B型电视机的金额的x万元，则投放A型电视机的金额为（10 – x）万元，农民得到的总补贴

4分（没有指明x范围的扣1分）

（2），

令y′=0得x=10m –1 6分

1°若10m–1≤1即0＜m≤，则f（x）在为减函数，

当x=1时，f（x）有最大值；

2°若1＜10m–1＜9即，则f（x）在是增函数,

在是减函数，当x=10m–1时，f（x）有最大值；

3°若10m–1≥9即m≥1，则f (x)在是增函数，

当x=9时，f（x）有最大值． 10分

因此，当0＜m≤时，投放B型电视机1万元；当时，

投放B型电视机（10m–1）万元，当m≥1时，投放B型电视机9万元．

农民得到的总补贴最大。 13分

略

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