- 集合与函数的概念
- 共44150题
设函数f (x)的定义域为M,具有性质P:对任意x∈M,都有f (x)+f (x+2)≤2f (x+1).
(1)若M为实数集R,是否存在函数f (x)=ax (a>0且a≠1,x∈R) 具有性质P,并说明理由;
(2)若M为自然数集N,并满足对任意x∈M,都有f (x)∈N. 记d(x)=f (x+1)-f (x).
(ⅰ) 求证:对任意x∈M,都有d(x+1)≤d(x)且d(x)≥0;
(ⅱ) 求证:存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n,满足d(n)=c.
正确答案
(1)根据新定义可知,不存在函数f (x)=ax(a>0且a≠1)满足性质P.
(2)运用反证法来证明正难则反的试题。也是证明不等式常用的方法之一。
试题分析:证明:(1)因f (x)=ax(a>0且a≠1),所以ax≠ax+2,即f (x)≠f (x+2).
2分
由题设以及算术平均与几何平均不等式,得
f (x)+f (x+2)=ax+ax+2>2=2 ax+1=2 f (x+1),
这与f (x)+f (x+2)≤2f (x+1)矛盾.
故不存在函数f (x)=ax(a>0且a≠1)满足性质P. 4分
(2)(ⅰ)由题设对任意,f (x)+f (x+2)≤2f (x+1),所以
f(x+2)-f(x+1)≤f(x+1)-f(x).
于是对任意x∈N,d(x+1)≤d(x). 6分
下面用反证法证明:对任意x∈N,d(x)≥0.
假设存在某个非负整数k使d(k)<0,则由题设对任意x∈N,f(x)∈N,得d(x)∈Z,于是有d(k)≤-1. 8分
由任意x∈N,d(x+1)≤d(x),所以-1≥d(k)≥d(k+1)≥d(k+2)≥ ≥d(k+n)≥ .,这里n是自然数. 于是有
d(k+n)+d(k+(n-1))+d(k+(n-2))+ +d(k)≤(n+1) d(k)≤(n+1)×(-1).
而d(k+n)+d(k+(n-1))+d(k+(n-2))+ +d(k)=f (k+n+1)-f (k),
所以f (k+n+1)-f (k)≤-(n+1).
取n=f (k),得f (k+f (k)+1)≤-f (k)-1+f (k)=-1,这与f (k+f (k)+1)∈N矛盾.
因此,必有对任意x∈N,d(x)≥0. 12分
(ⅱ)由(ⅰ)可知 d(1)≥d(2)≥d(3)≥ ≥d(n)≥ ≥0.
当d(1)=0时,则有d(1)=d(2)=d(3)= =d(n)=0,结论成立.
当d(1)≠0时,对任意n∈N,有d(n) ∈N,且d(n) ∈[0, d(1)].
因为在区间[0, d(1)]上的自然数只有有限个,而落在此区间上的自然数d(n)有无数多个,所以,必存在自然数c∈[0, d(1)]和无穷多个正整数n,满足d (n)=c. 16分
点评:关键是对于新定义的理解和准确的表示,属于中档题。审清题意,要仔细认真,避免误解。
已知函数若
,则
.
正确答案
因为根据函数解析式可知,x>1,-x=2,x=-2,不成立,x1时,则3x=2,x=
,综上可知,满足题意的只有x=
,故答案为
函数
(1)时,求函数
的单调区间;
(2)时,求函数
在
上的最大值.
正确答案
(1)的减区间为
,增区间为
.
(2)时,函数
在
上的最大值为
.
试题分析:(1)首先确定函数的定义域,求导数,然后利用,可得减区间;利用
,可得增区间.(2)求函数最值的常用方法是,求导数,求驻点,计算驻点函数值、区间端点函数值,比较大小,得出最值.
试题解析:(1)时,
的定义域为
2分
因为,由
,则
;
,则
3分
故的减区间为
,增区间为
4分
(2)时,
的定义域为
5分
设,则
,其根判别式
,
设方程的两个不等实根
且
, 6分
则
,显然
,且
,从而
7分
则
,
单调递减 8分
则
,
单调递增 9分
故在
上的最大值为
的较大者 10分
设,其中
11分
,则
在
上是增函数,有
12分
在
上是增函数,有
, 13分
即
所以时,函数
在
上的最大值为
14分
已知函数f(x)=-2alnx(a>0)
(I)求函数f(x)的单调区间和最小值.
(II)若方程f(x)=2ax有唯一解,求实数a的值.
正确答案
(I)函数的减区间为
,增区间为
,最小值为
(II)
试题分析:解:⑴函数的定义域为,且
,
所以当时,
,当
时,
,
即函数的减区间为
,增区间为
,
.
⑵设,
则,
因为,令
,则
,
所以当时
,当
时
,
即函数的减区间为
,增区间为
,
又因为当时均有
,
所以有唯一解
,
注意到,所以
所以,因为
,所以
,
记,则
对于
恒成立,
即为增函数,又
,所以
,
解之得,为所求.
点评:本小题主要考查函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识,以及推理能力、运算能力和综合应用数学知识的能力,属中档题.
设F(x)=3a+2bx+c,若a+b+c=0,且F(0)>0,F(1)>0.
求证:a>0,且—2<<—1.
正确答案
主要求出F(0)和F(1)
试题分析:证明:由题意,
又,所以
.
注意到,又
,所以
,即
,
又,
,
所以,即
.
综上:,且
点评:本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
已知函数,则
_____________
正确答案
试题分析:根据题意,由于,那么可知
,故可知结论为
。
点评:主要是根据函数解析式来求解函数值,属于基础题。
设,利用课本中推导等差数列前
项和公式的方法,可求得
的值是________________;
正确答案
3
试题分析:先考察函数f(x)具有的性质:若a+b=1,则f(a)+f(b)= ,由此可求答案.解:设a+b=1,则f(a)+f(b)=
,那么可知
=
,故答案为3.
点评:本题考查根据数列是特殊的函数,根据函数具有的性质,来解决数列的和问题,利用的是倒序相加法,属于基础题.
已知,函数
.
(1)若是单调函数,求实数
的取值范围;
(2)若有两个极值点
、
,证明:
.
正确答案
(1) (2)构造函数,利用单调性即得证.
试题分析:(1)
,则关于
的方程
的判别式
,
函数
在
上单调递减
,
,
,
,
不是单调函数,
,
, 且
是方程
的两正根,则
,
,
,
点评:本题考查了导数在解决函数极值和证明不等式中的应用,解题时要认真求导,防止错到起
点,还要有数形结合的思想,提高解题速度.
(本小题满分12分)某公园计划建造一个室内面积为800m2的矩形花卉温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道。沿前侧内墙保留3m宽的空地,中间矩形内种植花卉.当矩形温室的边长各为多少时,花卉的种植面积最大?最大种植面积是多少?
正确答案
当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,花卉种植面积达到最大,最大面积为648
试题分析:解:设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,则 ab=800.
则花卉的种植面积为 4分
所以 8分
当且仅当 11分
答:当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,花卉种植面积达到最大,最大面积为648 12分
点评:结合函数与不等式的思想来求解实际中的最值问题,也是考查了分析和解决问题的能力的运用。
设函数的定义域为
,若存在非零实数
使得对于任意
,有
,且
,则称
为
上的
高调函数.如果定义域是
的函数
为
上的
高调函数,那么实数
的取值范围是 .
正确答案
m≥2
)∵定义域是[-1,+∞)的函数f(x)=x2为[-1,+∞)上的m高调函数,∴当x≥-1时,x+m≥m-1≥-1∴m≥0,而m≠0,∴m>0.又函数f(x)=x2为[-1,+∞)上的m高调函数,∴f(x+m)≥f(x),即(x+m)2≥x2,∴2mx+m2≥0,又m>0,∴m≥-2x(x≥-1)恒成立,∴m≥(-2x)max,由x≥-1可得-x≤1,-2x≤2,∴(-2x)max=2,∴m≥2.
故答案为:m≥2.
已知函数f(x)满足:
+
.
正确答案
30
解:因为
+
若函数在
上有最小值,则实数m的取值范围是 .
正确答案
因为在给定区间上
,有最小值,利用导数,确定单调区间,进而分析极值,进而得到最值,那么实数m的取值范围是【-2,1】。
定义一个对应法则,现有点
与点
,点
是线段
上一动点,按定义的对应法则
.当点
在线段
上从点
开始运动到点
结束时,点
的对应点
所经过的路线长度为 .
正确答案
由题意知A′B′的方程为:x+y=4,设M′(x,y),则M(x2,y2),从而有x2+y2=4,
易知A′(1,3)→,
,不难得出tan∠AOX=
,
,
,则
,
点M′的对应点M所经过的路线长度为.
在实数集R中定义一种运算“△”,且对任意,具有性质:
①;②
;③
,
则函数的最小值为 .
正确答案
3
解:由性质知:a△b=(a△b)△0=0△(ab)+(a△0)+(b△0)+c×0=ab+a+b
依照上面的计算求得f(x)=(|x|△1 /|x| )△0=0△(|x|•1/ |x| )+(|x|△0)+(1 /|x| △0 )+1×0="1+|x|+1" |x| ≥3,
故答案为:3.
某箱子的容积与底面边长x的关系为,则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为_________
正确答案
40
,则
因为
所以当时,
,此时
单调递增;当
时,
,此时
单调递减
所以是
的极大值,即当箱子的容积最大时,箱子底面边长为40
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