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题型:简答题
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简答题

设函数f (x)的定义域为M,具有性质P:对任意xM,都有f (x)+f (x+2)≤2f (x+1).

(1)若M为实数集R,是否存在函数f (x)=ax (a>0且a≠1,x∈R) 具有性质P,并说明理由;

(2)若M为自然数集N,并满足对任意xM,都有f (x)∈N. 记d(x)=f (x+1)-f (x).

(ⅰ) 求证:对任意xM,都有d(x+1)≤d(x)且d(x)≥0;

(ⅱ) 求证:存在整数0≤cd(1)及无穷多个正整数n,满足d(n)=c.

正确答案

(1)根据新定义可知,不存在函数f (x)=ax(a>0且a≠1)满足性质P.

(2)运用反证法来证明正难则反的试题。也是证明不等式常用的方法之一。

试题分析:证明:(1)因f (x)=ax(a>0且a≠1),所以axax+2,即f (x)≠f (x+2).

2分

由题设以及算术平均与几何平均不等式,得

f (x)+f (x+2)=axax+2>2=2 ax+1=2 f (x+1),

这与f (x)+f (x+2)≤2f (x+1)矛盾.

故不存在函数f (x)=ax(a>0且a≠1)满足性质P.                         4分

(2)(ⅰ)由题设对任意f (x)+f (x+2)≤2f (x+1),所以

f(x+2)-f(x+1)≤f(x+1)-f(x).

于是对任意x∈N,d(x+1)≤d(x).                                     6分

下面用反证法证明:对任意x∈N,d(x)≥0.

假设存在某个非负整数k使d(k)<0,则由题设对任意x∈N,f(x)∈N,得d(x)∈Z,于是有d(k)≤-1.                                                    8分

由任意x∈N,d(x+1)≤d(x),所以-1≥d(k)≥d(k+1)≥d(k+2)≥ ≥d(kn)≥ .,这里n是自然数. 于是有

d(kn)+d(k+(n-1))+d(k+(n-2))+ +d(k)≤(n+1) d(k)≤(n+1)×(-1).

d(kn)+d(k+(n-1))+d(k+(n-2))+ +d(k)=f (kn+1)-f (k),

所以f (kn+1)-f (k)≤-(n+1).

nf (k),得f (kf (k)+1)≤-f (k)-1+f (k)=-1,这与f (kf (k)+1)∈N矛盾.

因此,必有对任意x∈N,d(x)≥0.                                  12分

(ⅱ)由(ⅰ)可知 d(1)≥d(2)≥d(3)≥ ≥d(n)≥ ≥0.

d(1)=0时,则有d(1)=d(2)=d(3)= =d(n)=0,结论成立.

d(1)≠0时,对任意n∈N,有d(n) ∈N,且d(n) ∈[0, d(1)].

因为在区间[0, d(1)]上的自然数只有有限个,而落在此区间上的自然数d(n)有无数多个,所以,必存在自然数c∈[0, d(1)]和无穷多个正整数n,满足d (n)=c.       16分

点评:关键是对于新定义的理解和准确的表示,属于中档题。审清题意,要仔细认真,避免误解。

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题型:填空题
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填空题

已知函数,则          .

正确答案

因为根据函数解析式可知,x>1,-x=2,x=-2,不成立,x1时,则3x=2,x=,综上可知,满足题意的只有x=,故答案为

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题型:简答题
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简答题

函数

(1)时,求函数的单调区间;

(2)时,求函数上的最大值.

正确答案

(1)的减区间为,增区间为.

(2)时,函数上的最大值为.

试题分析:(1)首先确定函数的定义域,求导数,然后利用,可得减区间;利用,可得增区间.(2)求函数最值的常用方法是,求导数,求驻点,计算驻点函数值、区间端点函数值,比较大小,得出最值.

试题解析:(1)时,的定义域为

              2分

因为,由,则,则      3分

的减区间为,增区间为                     4分

(2)时,的定义域为

                            5分

,则

,其根判别式

设方程的两个不等实根,                6分

,显然,且,从而                 7分

单调递减                  8分

单调递增                9分

上的最大值为的较大者                    10分

,其中

                                             11分

,则

上是增函数,有            12分

上是增函数,有,            13分

所以时,函数上的最大值为       14分

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=-2alnx(a>0)

(I)求函数f(x)的单调区间和最小值.

(II)若方程f(x)=2ax有唯一解,求实数a的值.

正确答案

(I)函数的减区间为,增区间为,最小值为

(II)

试题分析:解:⑴函数的定义域为,且

所以当时,,当时,

即函数的减区间为,增区间为

.

⑵设

因为,令,则

所以当,当

即函数的减区间为,增区间为

又因为当时均有

所以有唯一解

注意到,所以 

所以,因为,所以

,则对于恒成立,

为增函数,又,所以

解之得,为所求.

点评:本小题主要考查函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识,以及推理能力、运算能力和综合应用数学知识的能力,属中档题.

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题型:简答题
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简答题

设F(x)=3a+2bx+c,若a+b+c=0,且F(0)>0,F(1)>0.

求证:a>0,且—2<<—1.

正确答案

主要求出F(0)和F(1)

试题分析:证明:由题意

,所以.

注意到,又,所以,即

所以,即.

综上:,且

点评:本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

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题型:填空题
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填空题

已知函数,则_____________

正确答案

试题分析:根据题意,由于,那么可知,故可知结论为

点评:主要是根据函数解析式来求解函数值,属于基础题。

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题型:填空题
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填空题

,利用课本中推导等差数列前项和公式的方法,可求得的值是________________;

正确答案

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试题分析:先考察函数f(x)具有的性质:若a+b=1,则f(a)+f(b)= ,由此可求答案.解:设a+b=1,则f(a)+f(b)=,那么可知= ,故答案为3.

点评:本题考查根据数列是特殊的函数,根据函数具有的性质,来解决数列的和问题,利用的是倒序相加法,属于基础题.

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题型:简答题
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简答题

已知,函数

(1)若是单调函数,求实数的取值范围;

(2)若有两个极值点,证明:

正确答案

(1) (2)构造函数,利用单调性即得证.

试题分析:(1)   

,则关于的方程的判别式

函数上单调递减   

不是单调函数,   

, 且是方程

的两正根,则

    

 

点评:本题考查了导数在解决函数极值和证明不等式中的应用,解题时要认真求导,防止错到起

点,还要有数形结合的思想,提高解题速度.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)某公园计划建造一个室内面积为800m2的矩形花卉温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道。沿前侧内墙保留3m宽的空地,中间矩形内种植花卉.当矩形温室的边长各为多少时,花卉的种植面积最大?最大种植面积是多少?

正确答案

当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,花卉种植面积达到最大,最大面积为648 

试题分析:解:设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,则 ab=800.

则花卉的种植面积为    4分

所以      8分

当且仅当     11分

答:当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,花卉种植面积达到最大,最大面积为648       12分

点评:结合函数与不等式的思想来求解实际中的最值问题,也是考查了分析和解决问题的能力的运用。

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题型:填空题
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填空题

设函数的定义域为,若存在非零实数使得对于任意,有,且,则称上的高调函数.如果定义域是的函数上的高调函数,那么实数的取值范围是   .     

正确答案

m≥2

)∵定义域是[-1,+∞)的函数f(x)=x2为[-1,+∞)上的m高调函数,∴当x≥-1时,x+m≥m-1≥-1∴m≥0,而m≠0,∴m>0.又函数f(x)=x2为[-1,+∞)上的m高调函数,∴f(x+m)≥f(x),即(x+m)2≥x2,∴2mx+m2≥0,又m>0,∴m≥-2x(x≥-1)恒成立,∴m≥(-2x)max,由x≥-1可得-x≤1,-2x≤2,∴(-2x)max=2,∴m≥2.

故答案为:m≥2.

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题型:填空题
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填空题

已知函数fx)满足:

+    .

正确答案

30

解:因为

+

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题型:填空题
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填空题

若函数上有最小值,则实数m的取值范围是    .

正确答案

因为在给定区间上,有最小值,利用导数,确定单调区间,进而分析极值,进而得到最值,那么实数m的取值范围是【-2,1】。

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题型:填空题
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填空题

定义一个对应法则,现有点与点,点是线段上一动点,按定义的对应法则.当点在线段上从点开始运动到点结束时,点的对应点所经过的路线长度为        

正确答案

由题意知A′B′的方程为:x+y=4,设M′(x,y),则M(x2,y2),从而有x2+y2=4,

易知A′(1,3)→, ,不难得出tan∠AOX=,,

,则,

点M′的对应点M所经过的路线长度为.

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题型:填空题
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填空题

在实数集R中定义一种运算“△”,且对任意,具有性质:

;②;③

则函数的最小值为        .

正确答案

3

解:由性质知:a△b=(a△b)△0=0△(ab)+(a△0)+(b△0)+c×0=ab+a+b

依照上面的计算求得f(x)=(|x|△1 /|x| )△0=0△(|x|•1/ |x| )+(|x|△0)+(1 /|x| △0 )+1×0="1+|x|+1" |x| ≥3,

故答案为:3.

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题型:填空题
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填空题

某箱子的容积与底面边长x的关系为,则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为_________

正确答案

40

,则

因为

所以当时,,此时单调递增;当时,,此时单调递减

所以的极大值,即当箱子的容积最大时,箱子底面边长为40

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