集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的. 某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每户的定额损耗费c元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费. 已知每户每月的定额损耗费c不超过5元. 该市某家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付的费用如下表所示：

根据表格中的数据，求a、b、c.

月份

用水量

水费

一月份

9

9元

二月份

15

19元

三月份

22

33元

正确答案

设每月水量为，支付水费为y元；

则

将x=15，x=22分别代入②得b=2，2a=c+19③，假设一月份用水量超过最低限量，

代入②得与③矛盾，

代入③得

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题型：简答题

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简答题

给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;

(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.

正确答案

（1）f(x)=x2-1,x∈［1，+∞)（2）f(x)=x2-x+3

（1）令t=+1,∴t≥1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞).

（2）设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.

∴，∴，又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3.

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题型：简答题

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简答题

已知函数是常数,且,满足,且有唯一解,求的解析式

正确答案

通过和方程f（x）-x=0的判别式为0建立a,b的方程组，求出f(x)的解析式

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题型：填空题

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填空题

奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则。

正确答案

-15

在区间上也为递增函数，即，。

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题型：填空题

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填空题

设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=　　　.

正确答案

-9

f(a)+f(-a)=a3cosa+1+(-a)3cos(-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9.

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题型：填空题

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填空题

若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．

正确答案

(1，＋∞)

由题意知即为方程x2＋2x＋a＝0无实数解，即4－4a＜0，解得a＞1.

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题型：简答题

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简答题

某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.

（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

正确答案

（1）函数关系式为y=-60x2+20x+200 (0＜x＜1).

（2）投入成本增加的比例x的范围是(0,).

（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x) (万元)，

销售量为1 000×(1+0.6x)(辆).

故利润y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1 000×(1+0.6x), 5分

整理得y=-60x2+20x+200 (0＜x＜1).

（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，则y-(1.2-1)×1 000＞0, 10分

即-60x2+20x+200-200＞0,即3x2-x＜0. 12分

解得0＜x＜，适合0＜x＜1.

故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0＜x＜. 13分答（1）函数关系式为y=-60x2+20x+200 (0＜x＜1).

（2）投入成本增加的比例x的范围是(0,). 14分

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题型：填空题

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填空题

设函数，若，则的值为．

正确答案

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试题分析：因为，所以.因此本题也可应用函数性质求解，因为，所以

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题型：填空题

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填空题

函数f(x)＝x－sin x在区间[0,2π]上的零点个数为________．

正确答案

2

在同一坐标系内作出函数y＝x及y＝sin x在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零点．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．

正确答案

0

当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.

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题型：填空题

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填空题

设函数，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值。

正确答案

试题分析：，

设

两式相加得

点评：本题考察了数列的倒序求和法，当所求式子的第n项与倒数第n项之和为常数时，可采用倒序相加求和法，将原式倒写，两式相加求和

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题型：填空题

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填空题

已知，则　　　　　　．

正确答案

试题分析：根据题意，，设，因此可知，因可知，函数。

点评：主要是考查了函数解析式的求解，属于基础题。

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题型：填空题

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填空题

对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“布林函数”，区间[a，b]称为函数f(x)的“等域区间”.

（1）布林函数的等域区间是 .

（2）若函数是布林函数，则实数k的取值范围是 .

正确答案

（1）[0,1]；（2）.

试题分析：（1）因为是增函数，则当x∈[a，b]时，f(x)∈[f(a)，f(b)].

令f(a)＝a，且f(b)＝b，即，且，则a＝0，b＝1.

故布林函数的等域区间是[0,1].

（2）

因为是增函数，若是布林函数，则

存在实数a，b(－2≤a＜b)，使，即.所以a，b为方程的两个实数根，从而方程有两个不等实根.

令，则.当时，；当时，.

由图可知，当时，直线与曲线有两个不同交点，即方程

有两个不等实根，故实数k的取值范围是.

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题型：填空题

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填空题

若函数在区间(2,3)上有零点，则= ．

正确答案

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试题分析：显然是单调递增函数，又它在区间(2,3)上有零点，所以且，即且，得，而，又，所以.

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题型：填空题

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填空题

已知为定义在上的奇函数，当时，，则当时，_______________．

正确答案

试题分析：根据题意，由于为定义在上的奇函数，当时，，则当时，-,那么f(-x)=-f(x),=-f(x),故可知f(x)=,那么综上可知，

点评：解决的关键是根据函数的奇偶性以及函数的对称性来求解解析式。属于基础题。

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