集合与函数的概念_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若幂函数（），且，则的解析式为=____________________；

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分）巳知定义域为R的函数是奇函数.

(I)求a，b的值;

(II)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分16分）

已知函数，且对于任意R，恒有

（1）证明：；

（2）设函数满足：，证明：函数在内没有零点.

正确答案

略

（1）任意R，恒有，即恒成立，

所以，化简得. 于是. ………………………4分

而，所以，故.………………………8分

（2）. ………………………10分

由（1）知，. ………………………13分

于是当时，，

故函数在内没有零点. ………………………16分

1

题型：填空题

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填空题

某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价为2.8元、销售价为3.4元，全年分若干次进货、每次进货均为x包，已知每次进货运输费为62.5元，全年保管费为1.5x元，为使利润最大，则x=______.

正确答案

500

设获得的利润为y元，

则y=(3.4－2.8)×6000－×62.5－1.5x=－1.5(x+)+3600，

可证明函数在(0，500)上递增，在［500,+∞］上递减，因此当x=500时，

函数取得最大值.

1

题型：填空题

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填空题

已知图象连续不断的函数在区间（a，b）（）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.000 1）的近似值，那么将区间（a，b）等分的次数至多是。

正确答案

10

略

1

题型：简答题

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简答题

函数是R上的偶函数,且当时,函数的解析式为

(1)求的值;

(2)用定义证明在上是减函数;

(3)求当时,函数的解析式;

正确答案

(1)因为是偶函数,所以--------4分

(2)设则,所以,又为偶函数,

所以. --------------8分

(3) 设是上的两个任意实数，且，

.

因为所以, 所以

因此是上的减函数

略

1

题型：填空题

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填空题

某学生对函数　f(x)＝2x·cosx的性质进行研究，得出如下的结论：

①函数　f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；

②点(，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；

③函数y＝f(x)图象关于直线x＝π对称；

④存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立．

其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号)

正确答案

④

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域.

正确答案

解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为.

在中,

,

所以,

于是

依题意函数的定义域为

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

若函数满足：对定义域内任意两个不相等的实数,都有，则称函数为H函数.已知,且为偶函数.

(1) 求的值；

(2) 求证:为H函数；

(3)试举出一个不为H函数的函数,并说明理由.

正确答案

略

解:(1)因为为偶函数,所以. …………………2分

(2)由(1)知,所以

…………………4分

=, …………………5分

，即为H函数. …………………6分

(3) 例:. …………………8分

(说明:底数大于1的对数函数或都可以) .

理由:当时,

, …………………10分

, …………………12分

显然不满足,

所以该函数不为H函数.

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题型：填空题

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填空题

下列各组函数中，f(x)与g(x)是同一函数的是　 ▲ （填序号）．

①f(x) = x－1, g(x)=－1； ②f(x) =, g(x) = ()4；　③f(x) = ，g(x) =．

正确答案

③

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分10分）

学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T. P. Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的。已知某类学习任务的学习曲线为：为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足

（1）求的表达式，计算的含义；

（2）已知为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围。

正确答案

（1）

表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%

（2）学习效率指数的取值范围是

解：（1），

表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5% …………4分

（2）令学习效率指数，

…………6分

上为减函数。 …………8分

故所求学习效率指数的取值范围是 …………10分

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题型：简答题

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简答题

某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量mg/L与时间h间的关系为．

如果在前5个小时消除了的污染物，试回答：

（１）10小时后还剩百分之几的污染物？

（２）污染物减少需要花多少时间（精确到１h）?

（３）画出污染物数量关于时间变化的函数图象，并在图象上表示计算结果．

正确答案

（1）百分之八十一（2）需要花大约33h （3）图像见答案

（1）由可知，当时，；当时，．

于是，解得，那么．

所以，当时，．

答：10小时后还剩百分之八十一的污染物．

（2）当时，有，解得．

答：污染减少需要花大约33h．

（3）其图象大致如下：

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题型：简答题

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简答题

已知函数在处取得极值 .

（I）求实数a和b. （Ⅱ）求f(x)的单调区间

正确答案

（1）, b=-1

（2）函数的增区间为，减区间为

试题分析：根据题意，由于函数在处取得极值 .则,且有f(-1)=2，-1+a+5+b=2,b=-1.

，可知当y’>0，即可知x 函数递增，当函数递减，故可知函数的增区间为，减区间为

点评：主要是考查了导数在研究函数单调性的中的运用，属于基础题。

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题型：简答题

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简答题

已知函数，当时，有最小值；

（1）求的值；（2）求满足的的集合;

正确答案

（1）（2）

（1）

换元

，

有最小值

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题型：简答题

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简答题

设函数.

（1）若x＝时，取得极值，求的值；

（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；

（3）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）．

正确答案

（1）．（2）.

（3）转化成.所以.通过“放缩”，“裂项求和”。

试题分析：，

（1）因为时，取得极值，所以，

即故． 3分

（2）的定义域为，

要使在定义域内为增函数,

只需在内有恒成立,

即在恒成立， 5分

又 7分

，

因此，若在其定义域内为增函数，则的取值范围是. 9分

（3）证明：，

当=－1时，，其定义域是，

令，得.

则在处取得极大值，也是最大值.

而.所以在上恒成立.因此.

因为，所以.

则.

所以

=<

==.

所以结论成立. 13分

点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。本题不等式证明过程中，利用“放缩法”，转化成易于求和的数列，体现解题的灵活性。

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