热门试卷

可建一座桥

【错解分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比等比数列的前n项和。

【正解】对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列，则数列是以米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010,而地球和月球间的距离为4×108<5.63×1010故可建一座桥。

（1）；

（2）.

（3）1）当时，原不等式解为一切实数；

2）当时，原不等式解为：.

3)当时，原不等式的解为：；

4）当时，原不等式的解为：；

5）当时， 。

试题分析：(1) 因为恒成立，所以k=-1时显然不成立；那么k应满足,解之得即可求得k的取值范围.

(2)当时，恒成立,设因为它在（1，2）上是增函数，故，

从而当时，恒成立,因而转化为常规的一元二次不等式对于恒成立来解决即可.

（3），然后根据和和再结合k<0分三种情况讨论解不等式即可.

（1）恒成立……

，              ……

（2）令它在（1，2）上是增函数，故，

从而当时，恒成立                 ……

即对于恒成立，

 ；因为当时，，

所以，                       ……

，

令，则

，                            ……

而在上是增函数，且，

，从而. ……

（3），

1）当时，，原不等式解为一切实数；

2）当时，原不等式解为：.

3)当时，，

原不等式的解为：；……

4）当时，原不等式的解为：；

5）当时，

原不等式的解为：…….

点评：（1）对于一元二次不等式f(x)>0恒成立问题，要满足开口向上，并且与x轴无交点，所以

二次项系数大于零，并且.

(2)对于复杂类型的不等式问题可考虑采用换元法转化为常见不等式类型求解.

（3）对于含参的一元二次不等式要注意根据的符号分类讨论求解.

（1）y=x（2）y=（3）x=4（4）x＞4

试题分析：解：（1）设y=kx，∵直线过（4，4）两点，∴4=4k，∴k=1，∴y=x；

（2）设y=kx+b，∵直线过（0，2）、（4，4）两点，∴2=b，4=4k+2，∴k=，∴y=

（3）由图象知，当x=4时，销售收入等于销售成本，x=∴x=4；

（4）由图象知：当x＞4时，工厂才能获利，即（）＞0时，即x＞4时，才能获利

点评：主要是考查了待定系数法求解解析式，以及运用函数与不等式来求解范围，属于基础题。

（1）当时，取极小值，其极小值为（2）函数和存在唯一的隔离直线

试题分析：(1) ，

．        

当时，．                     

当时，，此时函数递减； 

当时，，此时函数递增；

∴当时，取极小值，其极小值为．   …………………………………6分   

(2)解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．          

设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．                                

由，可得当时恒成立．

，                             

由，得．                       

下面证明当时恒成立．

令，则

，                

当时，．

当时，，此时函数递增；

当时，，此时函数递减；

∴当时，取极大值，其极大值为．   

从而，即恒成立．            

∴函数和存在唯一的隔离直线．……………12分 

解法二： 由(1)可知当时， (当且仅当时取等号) ．

若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得

和恒成立，

令，则且

，即．                    

后面解题步骤同解法一．

点评：求函数极值要首先确定定义域，通过导数等于零找到极值点，但要说明是极大值还是极小值，第二问中将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，这种转化思路是函数综合题中常用的思路，其中找到函数和的图象在处有公共点是求解的关键

（1）2.（2）=1， ymax=3.

试题分析：（1）令=0，得x-1=1，即x=2，所以函数的零点是2.

（ 2）因为函数在[3，9]上是增函数，所以x=3时,=1， x=9时，ymax=3.

点评：函数的零点、对应方程的根、函数与x轴交点的横坐标三者是等价的。

解： (1) ①当a>0时， f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数.

②当a<0时， f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函数，在(,0)上是减函数.

(2)当0<<1时，f(x)的最大值为３－,

当1≤≤2时，f(x)的最大值为,

当>2时，f(x)的最大值为. 

本试题主要是考查了函数单调性和函数最值的求解的综合运用。

（1）根据已知条件，对于参数a进行分类讨论，判定单调性得到结论。

（2）在第一问的基础上，进一步对于不同情况下的单调性分别研究得到最值。

选做题：（参加IB学习的学生必须做，不参加IB学习的学生原则上不要做）

题目：（本题满分值为10分）

解： (1)  ∵f(x)=－ax3+x2+2(a≠0),∴= -ax2+2x.  

①当a>0时，令>0,即-ax2+2x>0,得0.

∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数. ………………4分

②当a<0时，令>0,即-ax2+2x>0,得x>0，或x<.

∴f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函数，在(,0)上是减函数.………………8分

(2)由（１）得：

①当0<<1,即a>2时,f(x）在（1，2）上是减函数,

∴f（x）max=f（1）=３－.        ……………10分

②当1≤≤2,即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，

∴f(x)max=f=.                 ………12分

③当>2时，即0<<1时，f(x)在（1，2）上是增函数，

∴f（x）max=f（2）=.      ……………14分

综上所述，当0<<1时，f(x)的最大值为３－,

当1≤≤2时，f(x)的最大值为,

当>2时，f(x)的最大值为.  ………………15分

(1) m＝4或m＝－1. (2) m的取值范围为(－5，－1)

本试题主要是考查了函数的零点，利用方程的解得到零点的证明。

（1）f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，解得。

（2）设f(x)的两个零点分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.

利用韦达定理和判别式得到范围。

解　(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，

∴m＝4或m＝－1. ……………… 5分

(2)设f(x)的两个零点分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.

由题意，在⇔

⇔

∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．………………12分