热门试卷

1）f(2)=0；   2) 见解析；

3）存在实数a∈(1,9),使得对任意的θ∈（0，π）恒成立.

试题分析：（1）根据对任意的正实数x，y都有均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1），令x=1，y=1，即可求出f（2）的值；

（2）由于函数没有具体解析式，要证其在（1，+∞）上为增函数，只能从条件；②对任意的x＞2均有f（x）＞0和条件③对任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）入手，取代入条件③，整理变形后借助于条件②可证出结论．

（3）令x=2，y=2，代入求得f（5），令x=2，y=4，代入求得f（9），

又，可得，根据条件②判断函数的单调性，根据已知条件把f（cos2θ+asinθ）＜3化为cos2θ+asinθ＜或1＜cos2θ+asinθ＜9，对任意的θ∈（0，π）恒成立，换元和分离参数即可求得a的范围．.

1）令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)

2) 任取X1>1，X2>1，X2>X1，则有  从而，

即

∴f(x)在（1，+∞）上单调递增……………（8分）

3）因为f(x)为奇函数，且在（1，+∞）上单调递增，令X=Y=2，得f（5）=f（3）+f（3）=2，再令X=2，Y=4，得f(9)=f(3)+f(5)=3,

由因为f(x)为奇函数，所以,于是f(x)<3的解集为；

（-∞，-）∪（1，9），于是问题转化为是否存在实数a,使对任意的θ∈（0，π）恒成立，令sinθ=t,则t∈(0,1]于是恒成立等价于恒成立.即恒成立，当t→0时，，故不存在实数a使对任意的

θ∈（0，π）恒成立.

12θ+asinθ<9恒成立等价于恒成立，得a>1,

t2-at+8>0,t∈(0,1]等价于，在（0，1]单调递减，于是g(t)min=9,故a<9 于是存在a∈(1,9)使12θ+asinθ<9 对任意的θ∈（0，π）恒成立.

综上知，存在实数a∈(1,9),使得对任意的θ∈（0，π）恒成立.……………………（14分）.

点评：此题是个难题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．特别是问题（3）的设问形式，增加了题目的难度，综合性强．

（1）（2）5

试题分析：（1）由题意得％）

即又解得 

（2）从事蔬菜加工的农民总收入为万元，从事蔬菜种植的农民的年总收入

为％）万元.

根据题意得：％）恒成立. 

即恒成立，恒成立.

而，当且仅当时取等号.

所以的最大值为5. 

点评：在实际问题中注意一些量的特殊性，实际意思，比如

（1）当时，汽车行驶100千米需小时，百公里油耗为：

（升）,

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，百公里油耗是升.

（2）当速度为千米/小时时，汽车行驶100千米需小时，设百公里油耗为升，

依题意得

，

则 ，    

令 得 ，

当时，，是减函数；

当时，，是增函数；

故当时，取到极小值；    

因为在上只有一个极值，所以它是最小值.

略

(1)解：由已知， 

解得b = 5，k =" 1   " ………… 6分

(2)当p = q时，  

∴ 

而在(0，4]上单调递减

∴当x = 4时，f (x)有最小值 

故当x = 4时，关税税率的最大值为500%

略