热门试卷

24，t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.

18.解 （1）由图象可知：

当t=4时，v=3×4=12,

∴s=×4×12=24.

（2）当0≤t≤10时，s=·t·3t=t2，

当10＜t≤20时，s=×10×30+30（t-10）=30t-150；

当20＜t≤35时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.

综上可知s=

(3)∵t∈［0，10］时，smax=×102=150＜650.

t∈（10，20］时，smax=30×20-150=450＜650.

∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.

解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,

∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.

机车以速度千米/小时匀速运行时，成本最省

设以速度V匀速运行成本最省，甲、乙两站相距S千米，则机车匀速从甲站到乙站所需时间为总成本为元。

仅当时，有最小值，

故机车以速度千米/小时匀速运行时，成本最省。

①MP(x)= -40x+2480(x∈N*,且x∈[1,100])

②利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值

①P(x)=" R(x)-" C（x)= -20x2+2500x-4000 (x∈N*,且x∈[1,100])；

MP(x)=" P(x+1)-" P(x)=-40x+2480(x∈N*,且x∈[1,100])；

②(x∈N*,且x∈[1,100])；

则当x=62或63时，P（x)max=74120（元），

因为MP(x) =-40x+2480为↘，则当x=1时，MP(x)max =2440元，

故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值。

（1），m=-2

（2）取得最大值

（3）由（Ⅱ）知：当时，，即，结合单调性来证明。

试题分析：解：（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率

，所以直线的方程为．又因为直线与的图像相切，所以由

，

得（不合题意，舍去）； .  4分

（Ⅱ）因为（），所以

．当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值； .  8分

（Ⅲ）当时，．由（Ⅱ）知：当时，，即．因此，有． .  12分

点评：主要是考查了函数的单调性以及不等式的运用，属于基础题。

（1）；（2）或。

试题分析：（1）， ，在且

∴图象与轴只有一交点，且为（1，0），又

∴在（1，0）切线方程为            6分

（2） 若在（1，2）为增函数，则

对增图象，从而，若在（1，2）为减函数

则对增图象，从而  或           12分

点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，在某区间，导数值非负，函数为增函数，导数值非正，函数为减函数。通过研究函数的导数，得到不等式恒成立问题，转化成了研究函数的最值，通过构建a的不等式，求得a的范围。

高88，宽55，

试题分析：设画面高为xcm，宽为kxcm，设纸张面积为S，根据矩形的面积公式建立面积的表达式，然后根据基本不等求出函数的最值即可．设画面高为xcm，宽为kxcm，

则kx2=4840设纸张面积为S，则有S=（x+16）（kx+10）=kx2+（16k+10）x+160，将代入到上式中可知

故可知高88，宽55，

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题

（1）用导数来证明 （2）

试题分析：（1）证明：时，，，

时，；时，；

在区间递增，在区间递减；

，即在上恒成立，在递减.          

（2）解：若有两个极值点，则是方程的两个根，故方程有两个根，又显然不是该方程的根，所以方程有两个根，

设当时，且单调递减，

当时，当时，单调递减，当时，单调递增，要使方程有两个根，需即且故的取值范围为  

点评：本题考查了导数在解决函数极值和证明不等式中的应用，解题时要认真求导，防止错到起点，还要有数形结合的思想，提高解题速度．

（1）

（2）①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即

（3）利用（2）的结论或数学归纳法证明

试题分析：（1）当时，，定义域是，     1分

，

令，得或．       2分

当或时，，当时，，

函数在、上单调递增，在上单调递减．     4分

的极大值是，极小值是．

当时，；当时，，

当仅有一个零点时，或．

∴的取值范围是       5分

（2）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．        7分

∵

∴①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．     9分

（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，  

．     12分

，．      14分

(法二)①当时，．

，，即时命题成立．      10分

②假设时，命题成立，即．

则当时，

．

根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．   13分

因此，由①②知不等式成立．         14分

点评：导数是研究函数性质的有力工具，要灵活运用解决问题，利用数学归纳法证明不等式时要注意放缩不等式的应用.

（1）构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性证明，（2）

(3) 利用放缩法证明

试题分析：（1）令

则            2分

当时，，当时，      3分

故在单调递减，上单调递增

所以有，从而有对一切实数成立      4分

（2）由=0得,         5分

令h(x)=                        6分

则,观察得x=1时=0             7分

当x>1时>0,当0<x<1时 <0,=h(1)=e+1           8分

又

函数存在两个零点,则a的取值范围为      9分

(3) 由(1)知,令 …11分

=       13分

所以            14分

点评：此类问题是在知识的交汇点处命题，将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查，重点考查了利用导数研究函数的单调性与最值等知识