热门试卷

（1）（2）略

（Ⅰ）∵且，当时，得……2分

当时，， 递减

当时，，递增

∴是的极小值点，也是最小值点.

∴的最小值为………………………………………………4分

（Ⅲ）∵

记，则

构造函数 

∴

由得

当时，，递减

当时，，递增

∴时，取最小值.

∴

即：……………………………12分

（Ⅰ）当时，取极小值，其极小值为．

（Ⅱ）函数和存在唯一的隔离直线．

试题分析：（Ⅰ） ，

．                      2分

当时，．

当时，，此时函数递减；            3分

当时，，此时函数递增；          4分

∴当时，取极小值，其极小值为．            5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点． 可设隔离直线的斜率为，则直线方程为：，即．                                

由 ，可得，当时恒成立．

，     由，得．             6分

下面证明 ，当时恒成立．

令，则

，

当时，．                 8分

当时，，此时函数递增；

当时，，此时函数递减；

∴当时，取极大值，其极大值为．             10分

从而 ，即 恒成立．

∴函数和存在唯一的隔离直线．            12分

点评：中档题，曲线切线的斜率，等于函数在切点的导函数值。本题涉及“新定义”及存在性探究问题，在理解“新定义”的基础上，将存在性问题的探究，转化成函数不等式恒成立问题，从而通过构造函数、研究函数的单调性、明确函数的极值，达到解题目的。

1760

20．解：设水池的造价为y元，池底的长为xm，则宽为 （----2分

--------------6分

----------------9分

当且仅当，即x=2m时，元。 -------------11分

答：这个水池的最低造价1760元  ----------------------------12分

（1）（2）不存在（3）时，在上恒取正值

解：（1），

又，故函数的定义域是 

(2) 任取，则，

，

即在定义域内单调递增

所以任取则必有故函函数的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于轴.

(3)因为是增函数，所以当时，，

这样只需，

即当时，在上恒取正值

对应函数，对应函数，对应函数．

（1）当底数大于１时，在的右侧，底数越大的图象越在下方．

所以，对应函数，对应函数，对应函数．

（２）

（1）（2）开始后5分钟（3）略

（1）当，是增函数，

且； 3分，是减函数，且.所以，讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟. ……6分

（2），故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.

（3）当时，；当，

令，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.5＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.

(Ⅰ)的增区间为，减区间为，；

(Ⅱ)  ；（III）.

试题分析：(Ⅰ)令，得，               1分

∴当时，；当时，。

∴的增区间为，减区间为，， 3分

(Ⅱ)，，所以。

又

∴，∴

所以                            6分

（III）当时，，令

当时，矛盾，                8分

首先证明在恒成立．

令，，故为上的减函数，

，故               10分

由（Ⅰ）可知故 当时，

综上          12分

点评：难题，不等式恒成立问题，常常转化成求函数的最值问题。不等式恒成立问题，往往要通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），进一步确定得到参数的范围。

（1）；（2）它们是“伙伴函数”；（3）。

试题分析：（1）由已知：

所以，解出：，从而

（2）由已知：，其中

由二次函数的图像可知：当时，

所以恒成立，所以它们是“伙伴函数”

（3）由已知：在时恒成立。

即：在时恒成立，分离参数可得：

在时恒成立，所以

函数在时单调递增，所以其最大值为

函数为双勾函数，利用图像可知其最小值为 所以。

点评：难题，本题以新定义函数的形式，重点考查指数函数、对数函数及二次函数的性质，恒成立问题解法。对于“恒成立问题”往往转化成求函数的最值问题。本题利用了“分离参数法”。

(1)

(2)

试题分析：（ 1）

   ①式

由条件  ②式

由①②式解得

(2），

令

经检验知函数，

的取值范围。

点评:解决关键是利用导数的几何意义，以及导数的符号求解函数单调性，属于基础题。