- 集合与函数的概念
- 共44150题
某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸,然后以每份1元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.
(Ⅰ)若售报亭一天购进270份报纸,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量
(单位:份,
)的函数解析式.
(Ⅱ)售报亭记录了100天报纸的日需求量(单位:份),整理得下表:
以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率.
(1)若售报亭一天购进270份报纸,表示当天的利润(单位:元),求
的数学期望;
(2)若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸,你认为购进270份报纸好,还是购进280份报纸好? 说明理由.
正确答案
(Ⅰ)(Ⅱ)(1)
(2)每天购进280张报纸好,此时利润最高.
试题分析:(Ⅰ)当时,
;
当时,
,
∴ ……5分
(Ⅱ)(1)可取135、144、153、162, 则
,
,
,
.
∴. ……9分
(2)购进报纸280张,当天的利润为
,
所以每天购进280张报纸好 ……12分
点评:解决实际问题,关键是根据题意进行准确转化,转化为熟悉的数学模型解决问题.
(本小题满分14分)已知函数,其中
(Ⅰ)求在
上的单调区间;
(Ⅱ)求在
(
为自然对数的底数)上的最大值;
(III)对任意给定的正实数,曲线
上是否存在两点
、
,使得
是以原点
为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上?
正确答案
(1)在
上的单调减区间为
,
:单调增区间为
(2)在
上的最大值为2
(3) 对任意给定的正实数,曲线
上存在两点
,使得△
是以
为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上
试题分析:(Ⅰ)因为
当时,
,
解得到
;解
得到
或
.所以
在
上的单调减区间为
,
:单调增区间为
………………4分
(Ⅱ)①当时,由(Ⅰ)知在
和
上单调递减,在
上单调递增,从而
在
处取得极大值
.
又,所以
在
上的最大值为2.……………………6分
②当时,
,当
时,
在
上单调递增,所以
在
上的最大值为
.所以当
时,
在
上的最大值为
;当
时,
在
上的最大值为2. …………………………8分
(Ⅲ)假设曲线上存在两点
,使得
是以
为直角顶点的直角三角形,则
只能在
轴的两侧,不妨设
,则
,且
. …9分
因为是以
为直角顶点的直角三角形,所以
,
即:(1) ……………………………………10分
是否存在点等价于方程(1)是否有解.
若,则
,代入方程(1)得:
,此方程无解.…11分
若,则
,代入方程(1)得到:
……12分
设,则
在
上恒成立.所以
在
上单调递增,从而
,即有
的值域为
(不需证明),所以当
时,方程
有解,即方程(1)有解.
所以,对任意给定的正实数,曲线
上存在两点
,使得△
是以
为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上. …………………14分
点评:研究函数中的单调性以及最值问题,一般运用导数的思想,结合导数的符号来判定,进而确定结论,属于中档题。
在工程技术中,常用到双曲正弦函数和双曲余弦函数
,双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质,请类比正、余弦函数的和角或差角公式,写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 。
正确答案
,
,
,
四个之一即可.
试题分析:因为,
,
,分别算出
可以得出而
,其余类似可以写出.
点评:归纳推理和类比推理是高考中经常考查的两类推理,要分清两类推理的区别,准确应用.
已知函数,则
.
正确答案
试题分析:。
点评:分段函数求值要分段代入,适合那段代那段。
函数是定义域为
的偶函数,当
时,
,则当
时,
的表达式为___________
正确答案
f(x)=x+1
设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x+1,因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x)=x+1.所以x<0时,f(x)=x+1
已知函数,则
=________________.
正确答案
50
试题分析:根据题意,由于f(x)+f(1-x)=,那么可以根据找个规律来得到所求解的是100项的和,并且首尾的变量和对应的为1,那么其函数值配成了50对,那么有50个1,故答案为50.
点评:根据已知解析式发现规律,变量和为1,则函数值和为定值是解题的关键,属于基础题。
(本小题满分12分)某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第个月的利润
(单位:万元),为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第
个月的当月利润率
,例如:
.
(Ⅰ)求
; (Ⅱ)求第
个月的当月利润率
;
(Ⅲ)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.
正确答案
(Ⅰ).
(2);
(Ⅲ)该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,最大值为。
试题分析:(Ⅰ)由题意得
∴. …………………………………2分
(2)当时,
∴. ----------4分
当时,
7分
∴当第个月的当月利润率为
…………8分
(Ⅲ)当时,
是减函数,此时
的最大值为
9分
当时,
当且仅当时,即
时,
,又
,
∴当时,
………………11分
答:该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,最大值为 …12分
点评:典型题,通过构建函数模型利用导数加以解决,这是近些年来高考考查的重要题型之一。
(本小题满分15分)将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,为了取得最大利润,每个售价应定为多少元?
正确答案
105元。
试题分析:设每个售价应定为90+x------------------2分
利润y=(90+x-80)(400-10x)----------- ------8分
X=15取得最大利润,每个售价应定为105元 -------13分
点评:研究数学模型,建立数学模型,进而借鉴数学模型,对提高解决实际问题的能力,以及提高数学素养都是十分重要的.建立模型的步骤可分为: (1) 分析问题中哪些是变量,哪些是常量,分别用字母表示; (2) 根据所给条件,运用数学知识,确定等量关系; (3) 写出的解析式并指明定义域。
(本小题共12分)水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为
V(t)=
(Ⅰ)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,…,12),问一年内哪几个月份是枯水期?
(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).
正确答案
(Ⅰ)枯水期为1月,2月,,3月,4月,11月,12月共6个月.
(Ⅱ)一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
试题分析:(1)分段求出水库的蓄求量小于50时x的取值范围,注意实际问题x要取整.
(2)一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期,则V(t)的最大值只能在(4,10)内达到,然后通过导数在给定区间上研究V(t)的最大值,最后注意作答
解:(Ⅰ)①当0<t10时,V(t)=(-t2+14t-40)
化简得t2-14t+40>0,
解得t<4,或t>10,又0<t10,故0<t<4.
②当10<t12时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,化简得(t-10)(3t-41)<0,
解得10<t<,又10<t
12,故 10<t
12 .综合得0
故知枯水期为1月,2月,,3月,4月,11月,12月共6个月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.
由V′(t)= 令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
当t变化时,V′(t) 与V (t)的变化情况如下表:
由上表,V(t)在t=8时取得最大值V(8)=8e2+50-108.52(亿立方米).
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
点评:解决该试题的关键是一元二次不等式的求解以及运用导数的思想来判定函数 单调性,进而得到极值,求解最值。
(12分)若是定义在
上的增函数,且对一切
,满足
.
(1)求的值;
(2)若,解不等式
正确答案
⑴ ⑵
试题分析:解(1)在中令
则有 ∴
(2)∵ ∴
∴
即:
∵
上的增函数
∴ 解得
即不等式的解集为(-3,9)
点评:本题已经告知函数在上的单调性,实质已经降低了本题的难度,本题还可不给单调性而增加条件比如:当
时,
让学生自己证明函数在相应区间的单调性,进一步考查定义法证明函数单调性的方法
若方程有4个不相等的实数根,则实数
的取值范围是
正确答案
(0,3)
略
(本小题满分12分)
对于函数若存在
,使
成立,则称
为
的不动点。已知函数
(1)当时,求
的不动点;
(2)若对于任意实数,函数
恒有两个相异不动点,求
的取值范围
。
正确答案
(1)
解得和3是函数的两个不动点
(2)
解:(1),因为
为不动点,所以
解得和3是函数的两个不动点, …………(4分)
(2)因为函数恒有两个相异的不动点,
所以方程
也就是
对任何实数
恒有两个不相等的实数根,
即对任意的
恒成立, …………(8分)
这个不等式可化为
所以,解得
…………(12分)
(本小题满分14分:6+8)
某投资公司投资甲、乙两个项目所得的利润分别是P(亿元)和Q(亿元),它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式
,今该公司将5亿元投资这两个项目,其中对甲项目投资x(亿元),投资这两个项目所得的总利润为y(亿元)
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)求总利润的最大值。
正确答案
(6分)
,
即(8分)
如图,动点P从单位正方形ABCD顶点A开始,顺次经B、C、D绕边界一周,当x表示点P的行程,y表示PA之长时,求y关于x的解析式,并求f()的值.
正确答案
当P在AB上运动时,y =x,0≤x≤1,
当P在BC上运动时,y=,1<x≤2
当P在CD上运动时,y=,2<x≤3
当P在DA上运动时,y=4-x,3<x≤4
∴y= ∴f(
)=
某电视台应某企业之约播放两套连续剧.连续剧甲每次播放时间为80分钟,其中广告时间为1分钟,收视观众为60万;连续剧乙每次播放时间为40分钟,其中广告时间为1分钟,收视观众为20万. 若企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放6分钟广告,而电视台每周只能为该企业提供不多于320分钟的节目时间.则该电视台每周按要求并合理安排两套连续剧的播放次数,可使收视观众的最大人数为
正确答案
200万
将所给信息用下表表示.
设每周播放连续剧甲次,播放连续剧乙
次,收视率为
,则目标函数为
,约束条件为
,作出可行域如图.
由图可知,在点
处取到最大值200,所以可使收视观众的最大人数为200万
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