热门试卷

（1）由cos2x≠0得2x≠kπ+，k∈Z（2分）

解得x≠+，k∈Z

所以f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠+，k∈Z}（4分）

（2）因为f（x）的定义域关于原点对称，且f(-x)===f(x)，

所以f（x）是偶函数．（7分）

（3）当x≠+，k∈Z，cosx≠±，

即cos2x≠（8分）

f(x)==

==3cos2x-1（10分）

当cos2x=1时，f（x）取最大值2；

当cos2x=0时，f（x）的最小值-1∴函数f（x）的最大值2最小值-1

（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．

∵f（x+1）-f（x）=2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x，所以，∴，∴f（x）=x2-x+1．

（Ⅱ）f(x)=x2-x+1=(x-)2+

所以当x∈[-1，1]时，ymin=f（）=，ymax=f（-1）=3

∴函数的值域为[，3]

（Ⅲ）由题意得x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．

设g（x）=x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=，所以g（x）在[-1，1]上递减．

故只需g（1）＞0，即12-3×1+1-m＞0，解得m＜-1．

解：（1）；

；

。

（2）由（1）猜测：，

当n=1时，左边=，右边=，左边=右边，

∴n=1时，命题成立；

假设n=k时，命题成立，即：，

则n=k+1时，

左边=

       ，

∴n=k+1时，命题成立。

综上可知：对任意n∈N*，都有，

所以，。

（1）由题意令3x-2=0，解得x=，分两种情况：

当x≥时，f(x)=4x-2∈[，+∞)，

当x＜时，f(x)=-2x+2∈(，+∞)，

所以f（x）的值域为[，+∞)；

（2）令x+1=0解得，x=-1，故分三种情况：

当x＜-1时，原不等式等价于-3x+2+x＞-1-x，解得x＜-1，则解集为{x|x＜-1}；

当-1≤x＜时，原不等式等价于-3x+2+x＞x+1，解得-1≤x＜，则解集为{x|-1≤x＜}；

当x≥时，原不等式等价于3x-2+x＞x+1，解得x＞1，则解集为{x|x＞1}；

综上，不等式f（x）＞g（x）的解集为{x|x＜或x＞1}．

（1）任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，f(x1)-f(x2)=•，

因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[m，n]上单调递增．

（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）=m，f（n）=n，

即m，n是方程-=x的两个不等的正根⇔a2x2-（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．

所以△=（2a2+a）2-4a2＞0，＞0⇒a＞．

∴n-m= = ，  a∈(  ， +∞ )，

∴a=时，n-m取最大值．

法一：去分母，原式化为

sinx-ycosx=2-2y，

即sin（x-φ）=．

故≤1，解得≤y≤．

∴ymax=，ymin=．

法二：令x1=cosx，y1=sinx，有x12+y12=1．它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可．由=1，得k=．

∴ymax=，ymin=．

（1）函数的定义域为（0，+∞），

因为f（x）=2（log2x）2+alog2x-2+b=2（log2x）2-2alog2x+b，

设t=log2x，则函数等价为g(t)=2t2-2at+b=2(t-

a

2

)2+b-，

因为当x=时，取得最小值1，此时t=log2=-1，

所以=-1，b-=1，解得a=-2，b=3．…（6分）

（2）因为a=-2，b=3．，所以g（t）=2（t+1）2+1，二次函数的对称轴为t=-1，…（8分）

因为x∈[，8]，所以-2≤t≤3…（10分）

所以1≤y≤33．

即函数的值域为[1，33]…（12分）

解：（I）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0

如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5的图象，

得定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）

（II）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0

即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，

又由（I）|x+1|+|x﹣2|≥3，

∴﹣a≤3，∴a≥﹣3．

解：(1)进入的：

；

离开的：

，

∴。

(2)(ⅰ)当1≤n≤24时，f(n)-g(n)＞0，游客人数增多；

(ⅱ)当25≤n≤36时，令500n-12000≤3600，得n≤31，

即当25≤n≤36时，进入园区的人数多于离开的人数，

当32≤n≤36时，，进入园区的人数多于离开人数；

(ⅲ)当37≤n≤72时，令-300n+21600=500n-12000时，n=42，

即在下午4点整时，园区的人数达到最多。

解：（1）不属于；

（2）证明“略”。

解：(1) 由函数f(x)定义域为R，∴ b＞0.

又f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)对x∈R恒成立，得a＝0.(2分)

(16分)

略

（1）∵（x2+x+2）-（1-x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，

∴x2+x+2≥1-x．

（2）∵f（x）的定义域为R，即x2+kx+2＞0恒成立，∴△=k2-8＜0，

解得k∈(-∞，-2)∪(2，+∞)．

（1）由于定义在（1，+∞）上的函数f（x）=-（a＞0）满足f（2t-3）＞f（4-t），

则解得t∈(，3)

（2）由f（x）≤4x得≤4x+，

∴≤4(x-1)++4∵4(x-1)+≥4(x=时取等号)

∴≤8∵a＞0∴a≥

（3）由于f（x）在（1，+∞）单调递增，∴

∴m，n为方程-=x的两个大于1的不等实根

令x-1=u（u＞0）

由y=-1与y=u+(u＞0)的图象可得-1＞2∴0＜a＜

（1）∵函数f(t)=log2t，t∈[，8]，

∴≤ f(t)  ≤3即G=[，3]，

（2）-x2+2mx-m2+2m≤1恒成立⇔x2-2mx+m2-2m+1≥0恒成立，

令g（x）=x2-2mx+m2-2m+1

当m≤时   ∴m≤

当＜m＜3时  ∴m无解

当m≥3时   ∴m≥4+

综上：m≤或m≥4+．