热门试卷

（1）∵，∴，

∴-≤x≤

∴函数的定义域为[-，]．

（2）∵，∴

∴函数的定义域为{x|x＞-5且x≠-3}．

（Ⅰ）f（x）的定义域为R，

∴x2+ax+a≠0恒成立，∴△=a2-4a＜0，∴0＜a＜4，

即当0＜a＜4时f（x）的定义域为R．

（Ⅱ）由题意可知：f′(x)=，令f'（x）≤0，得x（x+a-2）≤0．

由f'（x）=0，得x=0或x=2-a，

又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2时，由f'（x）＜0得0＜x＜2-a；

当a=2时，f'（x）≥0；当2＜a＜4时，由f'（x）＜0得2-a＜x＜0，

即当0＜a＜2时，f（x）的单调减区间为（0，2-a）；

当2＜a＜4时，f（x）的单调减区间为（2-a，0）．

解：使函数有意义，则满足，

∴，解得：-3＜x＜1，

则函数的定义域为（-3，1）；

又在（-3，1）上，而，

令，

∴，

即函数的值域为（-1，+∞）。

（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0，

取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），

∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，

∴f（x）为奇函数．

（2）证明：任取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，

则x2-x1＞0，f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，

∴f（x2）＜-f（-x1），

又f（x）为奇函数，∴f（x1）＞f（x2）．

故f（x）为R上的减函数；

（3）∵f（x）为R上的减函数，

∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），

f（3）=3f（1）=-2×3=-6，∴f（-3）=-f（3）=-6，

故f（x）在[-3，3]上最大值为6，最小值为-6．

故f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-6，6]．

（3）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax2）+2f（-x）＜f（x）+f（-2），

可得f（ax2-2x）＜f（x-2），而f（x）在R上是减函数，

所以ax2-2x＞x-2即ax2-3x+2＞0恒成立，

①当a=0时不成立，

②当a≠0时，有a＞0且△＜0，即，解得a＞．

故a的取值范围为（，+∞）．

（1）∵f(x)=•=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1，

由2kπ+≤2x+≤2kπ+解得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）

∴函数f（x）减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

（2）∵将函数f（x）向左平移得到y=2sin[2(x+)+]+1=2sin(2x+)+1，

再将其横坐标缩短为原来的，得到g（x）=2sin(4x+)+1，

∵0≤x≤，∴≤4x+≤，

∴-≤sin(4x+)≤1．

即-+1≤g（x）≤3．

∴g（x）在[0，]上的值域为[-+1，3]．

（1）当a=-1时，f（x）=x2-1，

∴g（x）=f（f（x））=（x2-1）2-1，

故当x=0时，函数f（x）取最小值-1，

当x=±1时，函数g（x）取最小值-1

（2）由题意可知g（x）=f（f（x））=（x2+a）2+a

令x2=t，t∈[0，+∞），则上式可化为：y=t2+2at+a2+a

题意中的方程有实根等价于t2+2at+a2+a=0有非负的实根

由根与系数关系法可得，解得a≤-1

故存在，且a的取值范围为：a≤-1

（1）或或

不等式的解集为x∈[-，]

（2）若g(x)=的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解

又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，f（x）的最小值为2，

所以m＞-2．

（1）f-1（x）=log2（x+1）由log2（x+1）≤log4（3x+1）

得⇒⇒0≤x≤1

∴P={x|0≤x≤1}

（2）h(x)=log4(3x+1)-log2(x+1)=log4(3x+1)-log4(x+1)=log4=log4(3-)

∵x∈[0，1]∴x+1∈[1，2]⇒∈[1，2]

∴3-∈[1，2]∴h(x)∈[0，]

即函数h（x）的值域为[0，]

解：①∵f(x)是奇函数，

∴f(-x)=-f(x)对定义域内的每一个x都成立，

即

②∵2x-1≠0，

∴x≠0，∴定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，

∵u=2x-1＞-1且u≠0，

∴＜-1或＞0，

∴f(x)的值域为(-∞，-)∪(，+∞)．

∵f(x)=x2-2x+4的对称轴为x=2

∴f（x）在[2，2b]单调递增

∵定义域，值域都是闭区间[2，2b]，

∴f（2b）=2b

即2b2-4b+4=2b

解得b=2，或b=1（舍）

综上b=2