热门试卷

y=2-sin2x+cosx=2-（1-cos2x）+cosx=cos2x+cosx+1

令t=cosx∈[-1，1]，∴y=（t+）2+，t∈[-1，1]

所以函数的值域为：[，3]

当t=1，即cosx=1，即x=2kπ，k∈Z时，ymax=3

（I）依题有⇒a=1，b=2．

∴f（x）=x2+2x+1（6分）

（II）f(x)=x2+bx+1=(x+)2+1-（8分）

当-≤0即b≥0时，fmin(x)=f(-)=1-；

当-＞0即b＜0时，fmin（x）=f（0）=1

综上述f（x）在（-∞，0]上的最小值为g(b)=（12分）

（1）由f（x）=知x满足：x2+≥0，

∴≥0，

∴≥0

∴≥0，

故x＞0，或x≤-1．

f（x）定义域为：（-∞，-1]∪（0，+∞）．

（2）证明：∵an+12=an2+，则an+12-an2=，

于是有：++…+=an+12-a12=an+12-1

要证明：(n+1)23-1≤++…+≤4(n+1)23-1

只需证明：n13≤an≤2n13（*） 

下面使用数学归纳法证明：n13≤an≤2n13（n≥1，n∈N*） 

  ①在n=1时，a1=1，＜a1＜2，则n=1时 （*）式成立．

②假设n=k时，k13≤ak≤2k13成立，

由 =+≤4k13+=4k23+

要证明：4k13+≤4(k+1)23，

只需2k+1≤k13(k+1)23只需（2k+1）3≤8k（k+1）2

只需1≤4k2+2k，而4k2+2k≥1在k≥1时，恒成立，

于是ak+12=(k+1)23，于是ak+1≤ 2(k+1)13，

又ak+12=ak2+≥k23+，

要证k23+≥(k+1)23

只需证：k+2≥k13(k+1)23，

只需证：4k2+11k+8＞0，而4k2+11k+8＞0在k≥1时恒成立．

于是：≥(k+1)23．

因此 (k+1)13≤≤2(k+1)13得证．

综合①②可知（*）式得证，从而原不等式成立．

（3）证明：要证明：Sn≤-，

由（2）可知只需证：＜-（n≥2）（**）

下面用分析法证明：（**）式成立．

要使（**）成立，

只需证：（3n-2）＞（3n-1）

即只需证：（3n-2）3n＞（3n-1）3（n-1），

只需证：2n＞1．

而2n＞1在n≥1时显然成立，

故（**）式得证．

于是由（**）式可知有：++…+≤-

因此有：Sn=a1+a2+…+an≤1+2（++…+）=-

（1）当 x∈[-2，0]时，f(x)=x+1在[-2，0]上是增函数，此时f(x)∈[0，1]

当 x∈（0，2]时，f（x）=2|x-2|=22-x在（0，，2]上是减函数，此时f（x）∈[1，4）

∴f（x）的值域为：[0，4]；

（2）①若a=0，g（x）=-1，对于任意 x1∈[-2，2]，f（x1）∈[0，4]，不存在x0∈[-2，2]，使g（x0）=f（x1）

②当a＞0时，g（x）=ax-1在[-2，2]是增函数，g（x）∈[-2a-1，2a-1]

任给 x1∈[-2，2]，f（x1）∈[0，4]

若存在x0∈[-2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立

则 [0，4]⊆[-2a-1，2a-1]∴，∴a≥

③a＜0，g（x）=ax-1在[-2，2]是减函数，g（x）∈[2a-1，-2a-1]

∴，∴a≤-

综上，实数 a∈(-∞，-]∪[，+∞)．

（1）∵f（-x）==-f（x），∴f（x）为奇函数

（2）f(x)==1-

在（-∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＞x2

∴f(x1)-f(x2)=-=

而y=10x在R上为增函数，∴102x1＞102x2，即f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在R上为增函数．

（3）102x=，而102x＞0，即＞0，∴-1＜y＜1．

所以f（x）的值域是（-1，1）．

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0（1分）

又∵x＞0时，f(x)=x2-x3

∴当x＜0时-x＞0f(x)=-f(-x)=-(x2+x3)

∴f(x)=（3分）

（2）由（1）知当x∈（-∞，0）时，f(x)=-x2-x3，∴f'（x）=-2x-x2（4分）

令f'（x）=0得x=-2或x=0

当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数

当x∈（-2，0）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数

∴f（x）在区间（-∞，-2）上是减函，数在（-2，0）上是增函数．（7分）

（3）∵当x＞0时，f(x)=x2-x3

∴g（x）=f'（x）=2x-x2=-（x-1）2+1

又∵a＞1

∴g（x）在区间[，a]上，当x=1时g（x）取得最大值1．

当1＜a≤时，g(x)min=g()=，由=得a=∈(1，]

当a＞时，g（x）min=g（a）=2a-a2

由2a-a2=得a=或a=∉(，+∞)或a=1∉(，+∞)

∴所求的a的值为a=或a=（12分）