热门试卷

（1）∵[m，n]⊆（-∞，0）∪（0，+∞）∴m＜n＜0或0＜m＜n

对∀x1、x2∈[m，n]，当x1＜x2时，f(x1)-f(x2)=-(-)=-•

∵m＜x1＜x2＜n，

∴x1x2＞0且x2-x1＞0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在[m，n]上单调递增．

（2）∵f（x）在[m，n]上单调递增，

∴f（x）在[m，n]上的值域为[f（m），f（n）]

∴f（m）=m且f（n）=n，

∴f（x）=x有两相异的同号根m、n

即-=x，a2x2-a(2a+1)x+1=0   需，

∴a＞或a＜-．

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．

f′(x)=1+-==．

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．

当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

∴f（x）的增区间为（0，1）（2，+∞），

减区间为（1，2）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在区间（1，e2）内，当x=2时，f（x）取得极小值，

而f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f(e2)=e2--5．

∵f（2）＜f（1）＜f（e2），

∴f（x）在区间（1，e2）上的值域为[2-3ln2，e2--5]；

（Ⅲ）由f(x)=x--3lnx+1及g(x)=7f(x)+m--4x，

得g(x)=3(x--7lnx)+7+m．

∴g′(x)=3(1+-)=(x2-7x+10)=(x-2)(x-5)，x∈[1，4]

当x∈[1，2）时，g′（x）＞0，g（x）在[1，2）上单调递增；

当x∈（2，4]时，g′（x）＜0，g（x）在（2，4]上单调递减．

则g（x）在[1，4]上有最大值g（x）max=g（2）=m-2ln2-2=3．

∴实数m的值为5+2ln2．

（1）原函数可化为：f(x)==3+，∴f（x）≠3

∴函数f(x)=的值域 （-∞，3）∪（3，+∞）

（2）假设≤，则a≤b

与条件a＞b＞0矛盾

所以＞．

∵-3≤log12x≤-，∴-3≤-log2x≤-，即log2x∈[，3]，

而函数y=（log2x-1）（log2x-2）=log22x-3log2x+2=(log2x-

3

2

)2-…（6分）

上式是关于log2x的二次函数，在[，]上单调递减，[，3]上单调递增，

故当log2x=，即当x=2时，ymin=-；…（11分）

当log2x=3，即x=8时，ymax=2；…（16分）

（1）令x1=x2=0，则有f（0）=f（0）+f（0）+1，故f（0）=-1

（2）令x1=x，x2=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-2x2+1=-1

又∵f（x）为偶函数，故f（x）=f（-x），代入上式可得：f（x）=x2-1

（3）∵f（x）=x2-1，

∴F(x)=a(x2-1)2-2(x2-1)=ax4-4x2+3=a(x2-2)2-1，

∵（x2-2）2-1≥-1，

∴当a＞1时，F （x）的最小值为，最大值不存在

当0＜a＜1时，F （x）的最大值为，最小值不存在

（三角代换）设x=cosθ，θ∈[0，]，（f（x）是偶函数且y≥0，所以不必取θ∈[0，π]）

则 y=sin2θ．

故函数的最值为 ymax=，ymin=0．

（1）设t=ax，则x=logat，t＞0

所以f(t)=log⁡at-，所以f(x)=log⁡ax-，要使函数有意义则

logax≥0，若a＞1，则x≥1．若0＜a＜1，则0＜x＜1．

所以若a＞1，函数的定义域为[1，+∞）．若0＜a＜1，函数的定义域为（0，1）

（2）由（1）知f(x)=log⁡ax-，令u=≥0，则y=f（u）=u2-u，

①当a＞1时，f（u）在u∈[0，)单调递减，在u∈[，+∞)单调递增．

而u=≥0，在[1，+∞）恒为单调递增．

所以原函数f（x）在[1，a14）上单调递减，在[a14，+∞）单调递增．

②当0＜a＜1时，同理可得，原函数f（x）在（a14，1）单调递增．

在（0，a14）单调递增．