- 集合与函数的概念
- 共44150题
已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},集合B={x|<0}.
(1)当a=2时,求A∩B;
(2)当a>时,若A∪B=A,求实数a的取值范围.
正确答案
解:(1)当a=2时,由(x-2)(x-7)<0,解得2<x<7,∴A={x|2<x<7}.
由<0,解得4<x<5,∴B={x|4<x<5}.
∴A∩B={x|4<x<5}.
(2)当a=1时,B=∅,满足A∪B=A,适合条件,∴a=1.
当a>时,且a≠1时,∵a2+1-2a=(a-1)2>0,∴B={x|2a<x<a2+1}.
∵3a+1>2,∴A={x|2<x<3a+1}.
∵A∪B=A,∴B⊆A,
∴a必须满足且a≠1,解得1<a≤3.
综上可知:a的取值范围是{a|1≤a≤3}.
解析
解:(1)当a=2时,由(x-2)(x-7)<0,解得2<x<7,∴A={x|2<x<7}.
由<0,解得4<x<5,∴B={x|4<x<5}.
∴A∩B={x|4<x<5}.
(2)当a=1时,B=∅,满足A∪B=A,适合条件,∴a=1.
当a>时,且a≠1时,∵a2+1-2a=(a-1)2>0,∴B={x|2a<x<a2+1}.
∵3a+1>2,∴A={x|2<x<3a+1}.
∵A∪B=A,∴B⊆A,
∴a必须满足且a≠1,解得1<a≤3.
综上可知:a的取值范围是{a|1≤a≤3}.
已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx-1=0}.若B⊆A,则实数m组成的集合是______.
正确答案
解析
解:∵A={x|x2+x-6=0},∴A={-3,2},
又∵B⊆A
∴当m=0时,B=∅,符合题意;
当m≠0时,集合B中的元素可表示为,若
,则
,若
,则
;
∴实数m组成的集合是.
故答案为:.
已知A={x|-1≤x≤4},B={x|a+1<x<2a-1},且B⊆A,求a的取值范围.
正确答案
解:当a+1≥2a-1,即a≤2时,B=∅,满足B⊆A,因此a≤2.
当a+1<2a-1时,要使B⊆A,则,解得
.
综上可得:a的取值范围是.
解析
解:当a+1≥2a-1,即a≤2时,B=∅,满足B⊆A,因此a≤2.
当a+1<2a-1时,要使B⊆A,则,解得
.
综上可得:a的取值范围是.
已知集合P={4,5},Q={1,2},定义P⊕Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},求集合P⊕Q的所有真子集的个数.
正确答案
解:由所定义的运算可知P⊕Q={2,3,4},
∴P⊕Q的所有真子集的个数为23-1=7.
解析
解:由所定义的运算可知P⊕Q={2,3,4},
∴P⊕Q的所有真子集的个数为23-1=7.
时杨中学高一(8)班要举行书法、绘画、舞蹈三项比赛,班上同学可以自由报名.由报名结果显示:报名参加书法比赛的17人,报名参加绘画比赛的20人,报名参加舞蹈比赛的21人,既报名参加书法比赛又报名参加绘画比赛的8人,既报名参加绘画比赛又报名参加舞蹈比赛的9人,既报名参加舞蹈比赛又报名参加书法比赛的7人,三项比赛都报名的只有3人,一项都没有报名的15人.由此可知该班一共有 ______人.
正确答案
52
解析
解:设A={参加书法比赛的学生},
B={参加绘画比赛的学生},
C={参加舞蹈比赛的学生},
CardA=17,CardB=20,CardC=21,
Card(A∩B)=8,
Card(B∩C)=9,
Card(A∩C)=7,
Card(A∩B∩C)=3,
结合文氏图可知,该班一共有3+4+5+6+5+6+8+15=52人.
故答案为:52.
设U=R,集合A={x|x2+3x+2<0},集合B={x|x2+(m+1)x+m<0},若B⊆A,则m的取值范围为______.
正确答案
1≤m≤2
解析
解:A={x|x2+3x+2<0}=(-2,-1),B={x|(x+1)(x+m)<0},
∵B⊆A,
∴-1≥-m≥-2,
解得,1≤m≤2.
故答案为:1≤m≤2.
已知A={x|x=+
,m∈Z},B={x|x=
+
,m∈Z},求证:A⊇B.
正确答案
证明:m=2n时,A={x|x=+
,m∈Z}={x|x=
+
,n∈Z},
m=2n-1时,A={x|x=+
,m∈Z}={x|x=
+
,n∈Z},
∴A⊇B.
解析
证明:m=2n时,A={x|x=+
,m∈Z}={x|x=
+
,n∈Z},
m=2n-1时,A={x|x=+
,m∈Z}={x|x=
+
,n∈Z},
∴A⊇B.
设集合A={x|0<log2x<1},B={x|x<a}.若A⊆B,则a的范围是______.
正确答案
[2,+∞)
解析
解:由集合A中的不等式得:log21<log2x<log22,∴1<x<2,∴A={x|1<x<2};
∵A⊆B,∴a≥2;
∴a的范围是[2,+∞).
故答案为:[2,+∞).
若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+(m-1)=0},且B⊂A,求实数m的值.
正确答案
解:化简条件得A={1,2},
由于B⊆A,…(2分)
根据集合中元素个数,集合B分类讨论,B=∅,B={1}或{2},B={1,2}
当B=∅时,△=m2-4(m-1)<0
∴m无解,…(4分)
当B={1}或{2}时,△=0可得m=2,此时B={1}成立,
∴m=2…(8分)
当B={1,2}时,…(10分)
∴m=3.…(11分)
综上所述,m=3或2.…(12分)
解析
解:化简条件得A={1,2},
由于B⊆A,…(2分)
根据集合中元素个数,集合B分类讨论,B=∅,B={1}或{2},B={1,2}
当B=∅时,△=m2-4(m-1)<0
∴m无解,…(4分)
当B={1}或{2}时,△=0可得m=2,此时B={1}成立,
∴m=2…(8分)
当B={1,2}时,…(10分)
∴m=3.…(11分)
综上所述,m=3或2.…(12分)
已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )
正确答案
解析
解:由3≤x2≤5,解得或
,
∴集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={-2,2},
∴集合A的真子集个数为22-1=3个.
故选:C.
已知集合M={x|x2-2x-3<0},N={x|x>a}若M⊆N,则实数a的取值范围是( )
正确答案
解析
解:M={x|-1<x<3};
∵M⊆N;
∴a≤-1;
∴实数a的取值范围是(-∞,-1].
故选:A.
写出所有满足条件{2,3}⊆M⊆{2,3,4,5}的集合M.
正确答案
解:根据子集的定义,可得集合M必定含有2、3两个元素,可能含有4或5.
因此,满足条件{2,3}⊆M⊆{2,3,4,5}的集合M有:
{2,3},{2,3,4,},{2,3,5},{2,3,4,5},共4个.
解析
解:根据子集的定义,可得集合M必定含有2、3两个元素,可能含有4或5.
因此,满足条件{2,3}⊆M⊆{2,3,4,5}的集合M有:
{2,3},{2,3,4,},{2,3,5},{2,3,4,5},共4个.
已知A={x|x2-9<0},B={x|<1},C={x|x2-3kx+2k2<0},请问是否存在实数k使A∩B⊆C恒成立,若存在,试确定实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.
正确答案
解:∵A={x|x2-9<0},B={x|<1},
∴A={x|-3<x<3},B={x|x<-4或x>2}
∴A∩B={x|2<x<3}
又∵C={x|x2-3kx+2k2<0},
∴当k=0时,C=∅,不满足A∩B⊆C;
当k>0时,C={x|k<x<2k},若A∩B⊆C,只需满足不等式组,即
≤k≤2;
当k<0时,C={x|2k<x<k},显然不满足A∩B⊆C.
综上所述,≤k≤2
解析
解:∵A={x|x2-9<0},B={x|<1},
∴A={x|-3<x<3},B={x|x<-4或x>2}
∴A∩B={x|2<x<3}
又∵C={x|x2-3kx+2k2<0},
∴当k=0时,C=∅,不满足A∩B⊆C;
当k>0时,C={x|k<x<2k},若A∩B⊆C,只需满足不等式组,即
≤k≤2;
当k<0时,C={x|2k<x<k},显然不满足A∩B⊆C.
综上所述,≤k≤2
设集合M={x|x=+
,k∈Z},N={x|x=kπ-
,k∈Z},则M,N之间的关系为______.
正确答案
N⊊M
解析
解:对于集合M,当k=2m-2(m∈Z)时,x=mπ-,k∈Z;
当k=2m-1(m∈Z)时,x=mπ-,k∈Z,此时M=N.
∴N⊊M.
故答案为:N⊊M.
已知三个集合A、B、C,则“A⊆B,B⊆C,C⊆A”是“A=B=C”的( )
正确答案
解析
解:∵A⊆B,B⊆C,
∴A⊆C,
∵C⊆A,
∴A=C,
∴C⊆B,
∵B⊆C,
∴B=C,
∴A=B=C,
反之,显然成立,
∴“A⊆B,B⊆C,C⊆A”是“A=B=C”的充要条件.
故选:A.
扫码查看完整答案与解析