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题型:简答题
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简答题

已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},集合B={x|<0}.

(1)当a=2时,求A∩B;

(2)当a>时,若A∪B=A,求实数a的取值范围.

正确答案

解:(1)当a=2时,由(x-2)(x-7)<0,解得2<x<7,∴A={x|2<x<7}.

<0,解得4<x<5,∴B={x|4<x<5}.

∴A∩B={x|4<x<5}.

(2)当a=1时,B=∅,满足A∪B=A,适合条件,∴a=1.

当a>时,且a≠1时,∵a2+1-2a=(a-1)2>0,∴B={x|2a<x<a2+1}.

∵3a+1>2,∴A={x|2<x<3a+1}.

∵A∪B=A,∴B⊆A,

∴a必须满足且a≠1,解得1<a≤3.

综上可知:a的取值范围是{a|1≤a≤3}.

解析

解:(1)当a=2时,由(x-2)(x-7)<0,解得2<x<7,∴A={x|2<x<7}.

<0,解得4<x<5,∴B={x|4<x<5}.

∴A∩B={x|4<x<5}.

(2)当a=1时,B=∅,满足A∪B=A,适合条件,∴a=1.

当a>时,且a≠1时,∵a2+1-2a=(a-1)2>0,∴B={x|2a<x<a2+1}.

∵3a+1>2,∴A={x|2<x<3a+1}.

∵A∪B=A,∴B⊆A,

∴a必须满足且a≠1,解得1<a≤3.

综上可知:a的取值范围是{a|1≤a≤3}.

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题型:填空题
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填空题

已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx-1=0}.若B⊆A,则实数m组成的集合是______

正确答案

解析

解:∵A={x|x2+x-6=0},∴A={-3,2},

又∵B⊆A

∴当m=0时,B=∅,符合题意;

当m≠0时,集合B中的元素可表示为,若,则,若,则

∴实数m组成的集合是

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

已知A={x|-1≤x≤4},B={x|a+1<x<2a-1},且B⊆A,求a的取值范围.

正确答案

解:当a+1≥2a-1,即a≤2时,B=∅,满足B⊆A,因此a≤2.

当a+1<2a-1时,要使B⊆A,则,解得

综上可得:a的取值范围是

解析

解:当a+1≥2a-1,即a≤2时,B=∅,满足B⊆A,因此a≤2.

当a+1<2a-1时,要使B⊆A,则,解得

综上可得:a的取值范围是

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题型:简答题
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简答题

已知集合P={4,5},Q={1,2},定义P⊕Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},求集合P⊕Q的所有真子集的个数.

正确答案

解:由所定义的运算可知P⊕Q={2,3,4},

∴P⊕Q的所有真子集的个数为23-1=7.

解析

解:由所定义的运算可知P⊕Q={2,3,4},

∴P⊕Q的所有真子集的个数为23-1=7.

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题型:填空题
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填空题

时杨中学高一(8)班要举行书法、绘画、舞蹈三项比赛,班上同学可以自由报名.由报名结果显示:报名参加书法比赛的17人,报名参加绘画比赛的20人,报名参加舞蹈比赛的21人,既报名参加书法比赛又报名参加绘画比赛的8人,既报名参加绘画比赛又报名参加舞蹈比赛的9人,既报名参加舞蹈比赛又报名参加书法比赛的7人,三项比赛都报名的只有3人,一项都没有报名的15人.由此可知该班一共有 ______人.

正确答案

52

解析

解:设A={参加书法比赛的学生},

B={参加绘画比赛的学生},

C={参加舞蹈比赛的学生},

CardA=17,CardB=20,CardC=21,

Card(A∩B)=8,

Card(B∩C)=9,

Card(A∩C)=7,

Card(A∩B∩C)=3,

结合文氏图可知,该班一共有3+4+5+6+5+6+8+15=52人.

故答案为:52.

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题型:填空题
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填空题

设U=R,集合A={x|x2+3x+2<0},集合B={x|x2+(m+1)x+m<0},若B⊆A,则m的取值范围为______

正确答案

1≤m≤2

解析

解:A={x|x2+3x+2<0}=(-2,-1),B={x|(x+1)(x+m)<0},

∵B⊆A,

∴-1≥-m≥-2,

解得,1≤m≤2.

故答案为:1≤m≤2.

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题型:简答题
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简答题

已知A={x|x=+,m∈Z},B={x|x=+,m∈Z},求证:A⊇B.

正确答案

证明:m=2n时,A={x|x=+,m∈Z}={x|x=+,n∈Z},

m=2n-1时,A={x|x=+,m∈Z}={x|x=+,n∈Z},

∴A⊇B.

解析

证明:m=2n时,A={x|x=+,m∈Z}={x|x=+,n∈Z},

m=2n-1时,A={x|x=+,m∈Z}={x|x=+,n∈Z},

∴A⊇B.

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题型:填空题
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填空题

设集合A={x|0<log2x<1},B={x|x<a}.若A⊆B,则a的范围是______

正确答案

[2,+∞)

解析

解:由集合A中的不等式得:log21<log2x<log22,∴1<x<2,∴A={x|1<x<2};

∵A⊆B,∴a≥2;

∴a的范围是[2,+∞).

故答案为:[2,+∞).

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题型:简答题
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简答题

若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+(m-1)=0},且B⊂A,求实数m的值.

正确答案

解:化简条件得A={1,2},

由于B⊆A,…(2分)

根据集合中元素个数,集合B分类讨论,B=∅,B={1}或{2},B={1,2}

当B=∅时,△=m2-4(m-1)<0

∴m无解,…(4分)

当B={1}或{2}时,△=0可得m=2,此时B={1}成立,

∴m=2…(8分)

当B={1,2}时,…(10分)

∴m=3.…(11分)

综上所述,m=3或2.…(12分)

解析

解:化简条件得A={1,2},

由于B⊆A,…(2分)

根据集合中元素个数,集合B分类讨论,B=∅,B={1}或{2},B={1,2}

当B=∅时,△=m2-4(m-1)<0

∴m无解,…(4分)

当B={1}或{2}时,△=0可得m=2,此时B={1}成立,

∴m=2…(8分)

当B={1,2}时,…(10分)

∴m=3.…(11分)

综上所述,m=3或2.…(12分)

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题型: 单选题
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单选题

已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为(  )

A1个

B2个

C3个

D4个

正确答案

C

解析

解:由3≤x2≤5,解得

∴集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={-2,2},

∴集合A的真子集个数为22-1=3个.

故选:C.

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题型: 单选题
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单选题

已知集合M={x|x2-2x-3<0},N={x|x>a}若M⊆N,则实数a的取值范围是(  )

A(-∞,-1]

B(-∞,-1)

C[3,+∞)

D(3,+∞)

正确答案

A

解析

解:M={x|-1<x<3};

∵M⊆N;

∴a≤-1;

∴实数a的取值范围是(-∞,-1].

故选:A.

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题型:简答题
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简答题

写出所有满足条件{2,3}⊆M⊆{2,3,4,5}的集合M.

正确答案

解:根据子集的定义,可得集合M必定含有2、3两个元素,可能含有4或5.

因此,满足条件{2,3}⊆M⊆{2,3,4,5}的集合M有:

{2,3},{2,3,4,},{2,3,5},{2,3,4,5},共4个.

解析

解:根据子集的定义,可得集合M必定含有2、3两个元素,可能含有4或5.

因此,满足条件{2,3}⊆M⊆{2,3,4,5}的集合M有:

{2,3},{2,3,4,},{2,3,5},{2,3,4,5},共4个.

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题型:简答题
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简答题

已知A={x|x2-9<0},B={x|<1},C={x|x2-3kx+2k2<0},请问是否存在实数k使A∩B⊆C恒成立,若存在,试确定实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.

正确答案

解:∵A={x|x2-9<0},B={x|<1},

∴A={x|-3<x<3},B={x|x<-4或x>2}

∴A∩B={x|2<x<3}

又∵C={x|x2-3kx+2k2<0},

∴当k=0时,C=∅,不满足A∩B⊆C;

当k>0时,C={x|k<x<2k},若A∩B⊆C,只需满足不等式组,即≤k≤2;

当k<0时,C={x|2k<x<k},显然不满足A∩B⊆C.

综上所述,≤k≤2

解析

解:∵A={x|x2-9<0},B={x|<1},

∴A={x|-3<x<3},B={x|x<-4或x>2}

∴A∩B={x|2<x<3}

又∵C={x|x2-3kx+2k2<0},

∴当k=0时,C=∅,不满足A∩B⊆C;

当k>0时,C={x|k<x<2k},若A∩B⊆C,只需满足不等式组,即≤k≤2;

当k<0时,C={x|2k<x<k},显然不满足A∩B⊆C.

综上所述,≤k≤2

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题型:填空题
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填空题

设集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=kπ-,k∈Z},则M,N之间的关系为______

正确答案

N⊊M

解析

解:对于集合M,当k=2m-2(m∈Z)时,x=mπ-,k∈Z;

当k=2m-1(m∈Z)时,x=mπ-,k∈Z,此时M=N.

∴N⊊M.

故答案为:N⊊M.

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题型: 单选题
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单选题

已知三个集合A、B、C,则“A⊆B,B⊆C,C⊆A”是“A=B=C”的(  )

A充要条件

B充分不必要条件

C必要不充分条件

D既非充分又非必要条件

正确答案

A

解析

解:∵A⊆B,B⊆C,

∴A⊆C,

∵C⊆A,

∴A=C,

∴C⊆B,

∵B⊆C,

∴B=C,

∴A=B=C,

反之,显然成立,

∴“A⊆B,B⊆C,C⊆A”是“A=B=C”的充要条件.

故选:A.

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